✨Hàm số học

Hàm số học

Trong lý thuyết số, hàm số học, hoặc hàm số lý thuyết số đối với hầu hết các tác giả nói đến bất kỳ hàm f (n) nào có miền là số nguyên dương và phạm vi của nó là một tập hợp con của tập số phức. Hardy & Wright bao gồm trong định nghĩa yêu cầu rằng một hàm số học cần "biểu thị một số tính chất số học".

Một ví dụ về hàm số học là hàm số ước có giá trị tại một số nguyên dương n bằng số ước số của n.

Có một lớp lớn hơn của các hàm lý thuyết số không phù hợp với định nghĩa trên, ví dụ các hàm đếm số nguyên tố. Bài viết này cung cấp các liên kết đến hàm của cả hai lớp này.

Nhiều hàm số được đề cập trong bài viết này có các mở rộng là chuỗi liên quan đến các tổng này; xem bài viết Tổng Ramanujan để biết ví dụ.

Hàm có tính chất nhân và cộng

Hàm số học a là

cộng hoàn toàn nếu a (mn) = a (m) + a (n) cho tất cả các số tự nhiên m và n;
nhân hoàn toàn nếu a (mn) = a (m)a (n) cho tất cả các số tự nhiên m và n;

Hai số nguyên m và n được gọi là số nguyên tố cùng nhau nếu ước số chung lớn nhất của chúng là 1; tức là, nếu không có số nguyên tố nào là ước số chung của cả hai.

Khi đó hàm số học a là có tính chất

cộng nếu a (mn) = a (m) + a (n) cho tất cả các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau m và n;
nhân nếu a (mn) = a (m)a(n) cho tất cả các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau m và n.

Ký hiệu

\sum_p f(p)

và

\prod_p f(p)

có nghĩa là tổng hoặc tích của tất cả các giá trị hàm trên các số nguyên tố:

: $\sum_p f(p) = f(2) + f(3) + f(5) + \cdots$ : $\prod_p f(p)= f(2)f(3)f(5)\cdots.$

Tương tự $\sum$ {p^k} f(p^k) và $\prod$ {p^k} f(p^k) có nghĩa là tổng hoặc tích trên tất cả các lũy thừa của các số nguyên tố với số mũ dương (do vậy không bao gồm 1):

: $\sum_{p^k} f(p^k) = \sum$ p\sum{k > 0} f(p^k) = f(2) + f(3) + f(4) +f(5) +f(7)+f(8)+f(9)+\cdots

\sum_{d\mid n} f(d)

và

\prod_{d\mid n} f(d)

có nghĩa là tổng hoặc tích trên tất cả các ước số dương của _n_, bao gồm 1 và _n_. Ví dụ: nếu _n_ = 12,

: $\prod_{d\mid 12} f(d) = f(1)f(2) f(3) f(4) f(6) f(12).\$

Các ký hiệu này có thể được kết hợp: $\sum$ {p\mid n} f(p) và $\prod$ {p\mid n} f(p) có nghĩa là tổng hoặc tích trên tất cả các ước nguyên tố của n. Ví dụ: nếu n = 18,

: $\sum_{p\mid 18} f(p) = f(2) + f(3),\$

và tương tự $\sum$ {p^k\mid n} f(p^k) và $\prod$ {p^k\mid n} f(p^k) có nghĩa là tổng hoặc tích trên tất cả các lũy thừa của số nguyên tố mà là ước số của n. Ví dụ: nếu n = 24,

: $\prod_{p^k\mid 24} f(p^k) = f(2) f(3) f(4) f(8).\$

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Hàm số học

Trong lý thuyết số, **hàm** **số học**, hoặc **hàm số lý thuyết số** đối với hầu hết các tác giả nói đến bất kỳ hàm _f_ (_n_) nào có miền là số nguyên dương và

💫 Số học

nhỏ|Các bảng số học dành cho trẻ em, Lausanne, 1835 **Số học** là phân nhánh toán học lâu đời nhất và sơ cấp nhất, được hầu hết mọi người thường xuyên sử dụng từ những

💫 Hàm số

Trong toán học, một **hàm số** hay gọi ngắn là **hàm** (Tiếng Anh: _function_) là một loại ánh xạ giữa hai tập hợp số liên kết mọi phần tử của tập số đầu tiên với

💫 Phiếm hàm (toán học)

Trong toán học, thuật ngữ " **phiếm hàm** " (danh từ, tiếng Anh là **functional**) có ít nhất 3 nghĩa sau : nhỏ|451x451px|Phiêm hàm [[Chiều dài cung - Arc length|chiều dài cung đi từ miền

💫 Giới hạn của hàm số

thumb|220x124px | right | Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a

Mặc dù hàm số không được định nghĩa tại , khi tiến

💫 Hàm số sơ cấp

Trong toán học, một **hàm số sơ cấp** là một hàm của một biến số và là tổ hợp của một số hữu hạn các phép toán số học , hàm mũ, logarit, hằng số

💫 Hàm số cơ bản

Trong toán học, một **hàm số cơ bản** là một hàm một biến số và là tổ hợp của một số hữu hạn các phép toán số học , hàm mũ, logarit, hằng số và

💫 Hàm Von Mangoldt

Trong toán học, **hàm von Mangoldt** là hàm số học được theo tên nhà toán học Đức Hans von Mangoldt. Nó là một trong những ví dụ quan trọng về hàm số học không nhân

💫 Hàm số chẵn và lẻ

nhỏ| Hàm [[sin và tất cả các đa thức Taylor của nó đều là các hàm lẻ. Hình ảnh này cho thấy

\sin(x)

và các xấp xỉ Taylor của nó, các đa thức bậc 1,

💫 Đồ thị của hàm số

**Đồ thị của hàm số** _f_ trong toán học là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự . Nếu đầu vào _x_ là một cặp có thứ tự các số thực thì đồ

💫 Hàm số tự nghịch đảo

Trong toán học, một **hàm số tự nghịch đảo**, là một hàm số f mà là hàm ngược của chính nó: : với mọi x trong tập xác định của f. ## Tính chất chung

💫 Hàm số Ackermann

**Hàm số Ackermann** là một hàm thực được mang tên nhà toán học người Đức Wilhelm Ackermann (1896–1962). Hàm Ackermann đôi khi còn được gọi là **hàm Ackermann-Peter**. ## Lịch sử Hàm Ackermenn được trình

💫 Không điểm của hàm số

**Nghiệm số** (còn gọi tắt là **nghiệm**) của một phương trình: :

f(x_1,x_2,...) = 0\,

là các giá trị của _x_₁, _x_₂,... mà ở đó giá trị của hàm số _f_ bằng 0. Có những phương

💫 Hàm số đại số

Trong toán học, **hàm số đại số** hay **hàm đại số** là một hàm số có thể được định nghĩa là nghiệm của phương trình đa thức. Các hàm đại số thường là các biểu

💫 Hàm số đơn điệu

Tính đồng biến (tăng) và tính nghịch biến (giảm) là các tính chất của một hàm số. Những hàm số tăng hoặc giảm trong một đoạn được gọi là **đơn điệu** trong đoạn đó. Với

💫 Hàm số xác định theo từng khoảng

**Hàm số xác định theo từng khoảng** - hàm số xác định trên tập số thực và được cho theo các công thức khác nhau trên từng khoảng khác nhau của tập xác định. ##

💫 Định hướng bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán tập 3 Số học Lê Anh Vinh

Nội dung gồm có 1. Lý thuyết chia hết 2. Hàm số học và ứng dụng 3. Cấp và căn nguyên thủy 4. Ứng dụng của số mũ đúng 5. Một số vấn đề cơ

💫 Hàm số bậc nhất

**Hàm số bậc nhất** hay **hàm số tuyến tính** là hàm số của một hay nhiều biến biểu diễn dưới dạng đa thức với bậc cao nhất của tất cả các biến là 1. Ví

💫 Số học mô đun

thumb|right|Chiếc đồng hồ với mô đun bằng 12 Trong toán học, **số học mô đun** là một hệ thống số học dành cho số nguyên. Trong số học mô đun, các con số được viết

💫 Số học sơ cấp

nhỏ|Các ký hiệu số học sơ cấp cơ bản. **Số học sơ cấp** là phần đơn giản của số học bao gồm các phép toán cộng, trừ, nhân và chia. Không nên nhầm lẫn với

💫 Hàm số bậc ba

phải|nhỏ|210x210px|Đồ thị của một hàm số bậc ba với 3 [[Nghiệm số|nghiệm số thực (tại đó đường đồ thị cắt trục hoành—thỏa mãn ). Hình vẽ cho thấy hai điểm cực trị. Phương trình của

💫 Cực trị của hàm số

**Cực trị của hàm số** là giá trị mà hàm số đổi chiều biến thiên khi qua đó. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và

💫 Hàm đếm số nguyên tố

Trong toán học, **hàm đếm số nguyên tố** là hàm số đếm số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng với một số thực _x._ Nó được ký hiệu là (_x_) (không liên

💫 Phân hoạch (lý thuyết số)

thumb|Các phần số _n_ với hạng lớn nhất _k_ Trong số học, sự **phân hoạch** một số nguyên dương _n_ là cách viết số đó dưới dạng tổng của các số nguyên dương. Hai cách

💫 Lịch sử đại số học

Là một nhánh của toán học, đại số phát triển vào cuối thế kỷ 16 ở châu Âu với công trình của François Viète. Đại số được xem xét một cách đáng chú ý như

💫 Khoảng cách số nguyên tố

thumb| [[Phân phối tần suất khoảng cách số nguyên tố cho các số nguyên tố lên tới 1.6 tỷ. Các cực đại đều là bội của 6.]] **Khoảng cách số nguyên tố** là khoảng cách

💫 Hình học số học

nhỏ| [[Đường cong siêu ellip được xác định bởi

y^2=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)

chỉ có hữu hạn điểm hữu tỷ (chẳng hạn như các điểm

(-2, 0)

và

(-1, 0)

) theo định lý Faltings. ]] Trong toán học,

💫 Sách - Cơ sở lí thuyết số và đa thức - NXB Đại học Sư phạm - Bài tập

Sách - Cơ sở lí thuyết số và đa thức - NXB Đại học Sư phạm Giáo trình 70,000 Sách bài tập 65000 Tác giả Nhiều tác giả Ngày xuất bản Quý IV năm 2021

💫 Tổng ước số thực sự

Trong lý thuyết số, **tổng ước số thực sự** _s_(_n_) của một số nguyên dương _n_ là tổng của tất cả các ước của _n_ và nhỏ hơn _n_. Nó được sử dụng để mô

💫 Sách Cơ sở Lí thuyết số và Đa thức

Thông tin chi tiết Tác giả Dương Quốc Việt CB - Đàm Văn Nhỉ Nhà Xuất Bản NXB Đại học Sư Phạm Số trang 231 Năm xuất bản 2022 Giới thiệu sách Giáo trình gồm

💫 Cơ sở học tập bậc cao thời cổ đại

phải|Di tích thư viện Viện Đại học [[Nalanda, một trung tâm học tập bậc cao của Phật giáo ở Bihar, Ấn Độ, tồn tại từ năm 427 đến 1197.]] Một loạt **các cơ sở học

💫 Hàm lượng giác

[[Đồ thị hàm sin]] [[Đồ thị hàm cos]] [[Đồ thị hàm tan]] [[Đồ thị hàm cot]] [[Đồ thị hàm sec]] [[Đồ thị hàm csc]] Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng,

💫 Đạo hàm

nhỏ|[[Đồ thị của hàm số (màu đen) và tiếp tuyến của nó (màu đỏ). Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm đó tại tiếp điểm (điểm được đánh dấu).]] Trong toán

💫 Tích chập Dirichlet

Trong toán học, **tích chập Dirichlet**, còn gọi là **phép nhân Dirichlet**, là một phép toán hai ngôi đóng giữa các hàm số học, tức những hàm số đi từ tập số nguyên dương đến

💫 Hàm liên tục

Trong toán học, một **hàm liên tục** hay **hàm số liên tục** là một hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó, gọi là những điểm gián đoạn. Chính

💫 Hàm delta Dirac

nhỏ|Biểu diễn hàm delta Dirac bởi một đoạn thẳng có mũi tên ở đầu. **Hàm delta Dirac** hoặc **Dirac delta** là một khái niệm toán học được đưa ra bởi nhà vật lý lý thuyết

💫 Hàm số bậc hai

**Hàm số bậc hai** là hàm số có dạng

ax^2+bx+c=y

trong đó

a,b,c

là các hằng số và

{\displaystyle (a\neq 0)}

. Hệ số hoàn toàn có thể ở y. x và y lần lượt

💫 Hàm tuần hoàn

thumb|Minh họa hàm tuần hoàn với chu kỳ

P.

Trong toán học, một **hàm tuần hoàn** là hàm số lặp lại giá trị của nó trong những khoảng đều đặn hay chu kỳ. Ví dụ

💫 Hàm truyền

Trong kỹ thuật, **hàm truyền** (còn được gọi là **hàm hệ thống** hoặc **hàm mạng**) của thành phần hệ thống điện tử hoặc điều khiển là một hàm toán học mô hình hóa lý thuyết

💫 Nguyên lý bao hàm-loại trừ

nhỏ|[[Biểu đồ Venn cho thấy hợp của _A_ và _B_]] Trong tổ hợp, một nhánh của toán học, **nguyên lý bao hàm-loại trừ** (hay **nguyên lý bao hàm và loại trừ** hoặc **nguyên lý bù

💫 Hàm nhân tính

:_Ngoài lý thuyết số, cụm từ **hàm nhân tính** thường được dùng để chỉ hàm nhân tính hoàn toàn. Bài viết này nói về hàm nhân tính trong ngữ cảnh lý thuyết số._ Trong lý

💫 Hàm nhân tính hoàn toàn

Trong lý thuyết số, **hàm nhân tính hoàn toàn** hay **hàm nhân tính toàn bộ** là một hàm số học giữ lại phép nhân giữa hai số bất kỳ. Nói cách khác, hàm số định

💫 Hàm phi Euler

nhỏ|phải|1000 giá trị đầu tiên của

\phi(n)

Trong lý thuyết số, **hàm số Euler** của một số nguyên dương _n_ được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng _n,_ nguyên

💫 Hàm mũ

Trong toán học, **hàm mũ** là hàm số có dạng **y = a^x**, với cơ số a là số dương khác 1. ## Tính chất nhỏ|Đồ thị của các hàm số: y = 10^x, y

💫 Hàm sinc

phải|Hàm sinc chuẩn (xanh) và hàm sinc không chuẩn (đỏ) trên cùng một hệ trục tọa độ từ _x_ = −6π đến 6π. Trong toán học, **hàm sinc**, ký hiệu là sinc(_x_) hoặc đôi khi

💫 Hàm softmax

Trong toán học, **hàm softmax**, hoặc **hàm trung bình mũ**, Biệt thức tuyến tính phân tích nhiều lớp, Phương pháp phân loại Bayes, và mạng neuron. Đặc biệt, trong hồi quy logistic đa biến và

💫 Hàm Dirichlet

Trong toán học, **hàm Dirichlet** là hàm chỉ thị

\mathbf{1}_\Q

của tập số hữu tỉ

\Q

, với

\mathbf{1}_\Q(x) = 1

khi là số hữu tỉ và

\mathbf{1}_\Q(x) = 0

khi không phải là số hữu

💫 Hàm đồng nhất

thumb|Đồ thị của hàm đồng nhất trên trường số thực Trong toán học, **hàm đồng nhất** (), còn gọi là **quan hệ đồng nhất**, **ánh xạ đồng nhất** hay **phép biến đổi đồng nhất**, là

💫 Tích (toán học)

Trong toán học, **tích** toán học là kết quả của phép nhân, hoặc là một biểu thức nhận diện các nhân tố được nhân. Ví dụ: 6 tích của 2 và 3 (kết quả của

💫 Lý thuyết số

**Lý thuyết số** là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà