✨Gia tốc góc

Gia tốc góc (kí hiệu $\backslash alpha$ (alpha) hay $\backslash gamma$ (gamma)) là biến thiên của vận tốc góc của vật theo thời gian.

Gia tốc góc có thứ nguyên góc trên thời gian bình phương, được đo bởi đơn vị SI là radian trên giây bình phương ($rad/s^\{2\}$). Trong hai chiều, gia tốc góc là đại lượng giả vô hướng với dấu được lấy là dương nếu tốc độ góc tăng ngược chiều kim đồng hồ hoặc giảm cùng chiều kim đồng hồ, và ngược lại, âm nếu giảm ngược chiều kim đồng hồ hoặc tăng cùng chiều kim đồng hồ. Trong ba chiều, gia tốc góc là một giả vector.

Gia tốc góc là khái niệm mở rộng của gia tốc trong chuyển động thẳng sang chuyển động tròn, là đạo hàm bậc nhất của vận tốc góc và là đạo hàm bậc hai của góc theo thời gian.

Định nghĩa

Một vật đang quay với vận tốc góc thay đổi thì có một gia tốc góc. Gia tốc góc trung bình $\backslash vec\{\backslash alpha\}\_\{tb\}$ của vật quay được xác định bởi:

:$\backslash vec\backslash alpha\_\{avg\}\; =\; \backslash frac\{\backslash vec\backslash omega\_2\; -\; \backslash vec\backslash omega\_1\}\{t\_2\; -\; t\_1\}\; =\; \backslash frac\{\backslash Delta\backslash vec\backslash omega\}\{\backslash Delta\{t,$

trong đó $\backslash Delta\backslash vec\backslash omega$ là biến thiên vận tốc góc trong khoảng thời gian $\backslash Delta\{t\}$.

Gia tốc góc tức thời $\backslash alpha$ là giới hạn của đại lượng trên khi $\backslash Delta\{t\}$ tiến tới không::

:$\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}(\backslash frac\{v\_\backslash perp\}\{r\}).$

Khai triển vế phải theo quy tắc tích từ giải tích vi phân, ta có:

:$\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{1\}\{r\}\; \backslash frac\{dv$\perp}{dt} - \frac{v\perp}{r^2} \frac{dr}{dt}.

Trong trường hợp đặc biệt chất điểm chuyển động tròn quanh tâm, $\backslash frac\{dv${\perp{dt} trở thành gia tốc tiếp tuyến $a${\perp}, còn $\backslash frac\{dr\}\{dt\}=0$.

:$\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{a\_\{\backslash perp\{r\}.$

Trong hai chiều, gia tốc góc là một số với dấu dương/âm được dùng để định phương hướng, chứ không chỉ ra hướng cụ thể. Như đã nêu trên, dấu được lấy là dương nếu tốc độ góc tăng ngược chiều kim đồng hồ hoặc giảm cùng chiều kim đồng hồ, và ngược lại, âm nếu giảm ngược chiều kim đồng hồ hoặc tăng cùng chiều kim đồng hồ. Do đó, gia tốc góc có thể được coi là một đại lượng giả vô hướng, một đại lượng số đổi dấu khi đảo ngược đối xứng, chẳng hạn như đảo ngược một trục hoặc hoán đổi hai trục.

Chất điểm trong không gian ba chiều

Trong ba chiều, gia tốc góc quỹ đạo là tốc độ mà vận tốc góc ba chiều thay đổi theo thời gian. Vận tốc góc tức thời $\backslash vec\{\backslash omega\}$ được xác định bởi:

:$\backslash vec\{\backslash omega\}=\backslash frac\{\backslash vec\{r\}\backslash times\backslash vec\{v\{r^2\},$

với $\backslash vec\{r\}$ là vector vị trí chất điểm, $r$ là khoảng cách tới tâm, và $\backslash vec\{v\}$ là vận tốc.

Do đó, gia tốc góc quỹ đạo là $\backslash vec\{\backslash alpha\}$ được xác định bởi:

:$\backslash vec\{\backslash alpha\}=\backslash frac\{d\}\{dt\}(\backslash frac\{\backslash vec\{r\}\; \backslash times\; \backslash vec\{v\{r^2\})$

Khai triển vế phải, thu được:

:

do $\backslash vec\{r\}\; \backslash times\; \backslash vec\{v\}\; =\; r^2\; \backslash vec\{\backslash omega\}$.

Nếu khoảng cách từ chất điểm tới tâm $r$ không thay đổi theo thời gian (trong đó bao gồm trường hợp nhỏ chuyển động tròn), hạng tử thứ hai biến mất và công thức trên trở thành:

:$\backslash vec\{\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{\backslash vec\{r\}\; \backslash times\; \backslash vec\{a\{r^2\}.$ Có thể khôi phục được gia tốc tiếp tuyến trong trường hợp đặc biệt này:

:$\backslash vec\{a\}\_\backslash perp\; =\; \backslash vec\{\backslash alpha\}\; \backslash times\; \backslash vec\{r\}.$

Thực tế, "vector" gia tốc góc là một giả vector do có ba thành phần có thể biến đổi theo phép biến đổi quay giống như tọa độ Cartesian của một điểm, nhưng không biến đổi như tọa độ Cartesian dưới phép phản xạ.

Quan hệ với moment của lực

Tổng moment của lực lên một chất điểm được xác định bởi giả vector:

:$\backslash vec\{M\}\; =\; \backslash vec\{r\}\; \backslash times\; \backslash vec\{F\},$

với $\backslash vec\{F\}$ là tổng ngoại lực tác dụng lên chất điểm.

Moment của lực là tương tự quay của lực, làm thay đổi trong trạng thái quay của một hệ thống, giống như lực làm thay đổi trạng thái dịch chuyển của một hệ. Giống như lực tác dụng lên một chất điểm liên kết với gia tốc theo biểu thức $\backslash vec\{F\}\; =\; m\backslash vec\{a\}$ (Định luật II Newton), cũng có thể viết một biểu thức liên hệ giữa moment của lực với gia tốc góc, tuy có phần phức tạp hơn.

Trước hết, thay thế $\backslash vec\{F\}\; =\; m\backslash vec\{a\}$ vào biểu thức moment của lực, có: :$\backslash vec\{M\}\; =\; m\backslash left(\backslash vec\{r\}\; \backslash times\; \backslash vec\{a\}\backslash right)\; =\; mr^2\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash vec\{r\}\backslash times\; \backslash vec\{a\{r^2\}\backslash right).$

Nhắc lại công thức giả vector vận tốc góc ở trên cho không gian ba chiều:

:$\backslash vec\{\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{\backslash vec\{r\}\; \backslash times\; \backslash vec\{a\{r^2\}\; -\; \backslash frac\{2\}\{r\}\backslash frac\{dr\}\{dt\}\backslash vec\{\backslash omega\},$

suy ra:

:$\backslash vec\{M\}\; =\; mr^2\; \backslash left(\backslash vec\{\backslash alpha\}+\backslash frac\{2\}\{r\}\backslash frac\{dr\}\{dt\}\backslash vec\{\backslash omega\}\backslash right)\; =mr^2\; \backslash vec\{\backslash alpha\}\; +\; 2mr\backslash frac\{dr\}\{dt\}\backslash vec\{\backslash omega\}.$ Trong trường hợp đặc biệt mà khoảng cách r từ chất điểm tới tâm không đổi, khi đó $\backslash frac\{dr\}\{dt\}\; =\; 0$, hạng tử thứ hai biến mất và phương trình đơn giản hóa thành: : $\backslash vec\{M\}\; =\; mr^2\backslash vec\{\backslash alpha\}\; =\; I\backslash vec\{\backslash alpha\},$ có thể coi là tương tự quay đối với $\backslash vec\{F\}\; =\; m\backslash vec\{a\}$, với $I\; =\; mr^2$ (moment quán tính của chất điểm) đóng vai trò như khối lượng m trong Định luật II Newton. Tuy nhiên, biểu thức chỉ áp dụng được cho một quỹ đạo nằm trong một vỏ cầu xung quanh gốc tọa độ.