✨Tập hợp con

nhỏ|phải|Lược đồ Euler biểu diễn
A là tập con của tập B và B là "tập cha" của tập A

Trong Toán học, đặc biệt trong lý thuyết tập hợp, tập hợp A là một tập con (hay tập hợp con) của tập hợp B nếu A "được chứa" trong B. Quan hệ một tập là tập con của tập khác được gọi là quan hệ bao hàm.

Định nghĩa

Nếu A và B là các tập hợp và mọi phần tử của A cũng là phần tử của B, thì: :A là tập con của B (hay A chứa trong B), ký hiệu $A\; \backslash subseteq\; B$, :hay tương đương :* :(B là tập chứa của A (hay B chứa A), ký hiệu $B\; \backslash supseteq\; A.$

Nếu A là tập con của B, nhưng có ít nhất 1 phần tử của B không là phần tử của A thì A được gọi là tập hợp con thực sự (hay tập con đích thực) của B, ký hiệu $A\backslash subsetneq\; B.$ :hay tương đương :* B là tập cha thực sự của A, ký hiệu $B\backslash supsetneq\; A.$ Một số tài liệu cũng dùng ký hiệu $A\; \backslash subset\; B$ thay cho $A\; \backslash subseteq\; B$, và $B\; \backslash supset\; A$ thay cho $B\; \backslash supseteq\; A$ với ý nghĩa tương tự. Tuy nhiên, nếu chi li ra thì ký hiệu $A\; \backslash subseteq\; B$ được hiểu rằng A là tập con của B hoặc có thể bằng B, còn ký hiệu $A\; \backslash subset\; B$ ít mang ý nghĩa A có thể bằng B hơn. :Tương tự như vậy trong số học, khi viết $x\backslash le\; \backslash ;y$ thì x có thể nhỏ hơn y, có thể bằng y, nhưng nếu viết thì có nghĩa là x chỉ nhỏ hơn y chứ không thể bằng y.

Ví dụ

• Tập {1, 2} là tập con thực sự của {1, 2, 3}.
• Một tập hợp là tập con của chính nó, nhưng không phải là tập con thực sự.
• Tập các số tự nhiên là tập con thực sự của tập các số hữu tỷ.
• Nếu d là một đường thẳng nằm trên mặt phẳng P thì d là tập con của P. *...

Một số tính chất của quan hệ bao hàm

• Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự, nó có các tính chất: phản xạ: với mọi tập A có $A\; \backslash subseteq\; A$, phản đối xứng: ($A\; \backslash subseteq\; B)(B\backslash subseteq\; A)\; \backslash Rightarrow\; A\; =\; B$; ** và bắc cầu: ($A\; \backslash subseteq\; B$)($B\; \backslash subseteq\; C)\; \backslash Rightarrow\; A\; \backslash subseteq\; C$.
• Tuân theo luật hấp thụ với các phép hợp và giao các tập hợp: Nếu $A\; \backslash subset\; B$ thì: $A\; \backslash cap\; B\; =\; A$ $A\; \backslash cup\; B\; =\; B$.

Tập các tập con của một tập hợp

Cho B là một tập hợp. Theo định nghĩa trên, tập rỗng (ký hiệu ∅) và chính tập B là tập con của nó. Như vậy mọi tập hợp khác rỗng có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Tập rỗng chỉ có một tập con là rỗng. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Nếu B là tập hữu hạn có n phần tử thì B có 2ⁿ tập con. Chẳng hạn nếu B = {a, b, c} thì B có 8 tập con là ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} :Do đó người ta thường ký hiệu tập các tập con của tập hợp B là 2^B. Nếu B là tập vô hạn, người ta chứng minh rằng các tập hợp B và 2^B là không cùng lực lượng. Thông thường, trong một lĩnh vực nghiên cứu cụ thể, người ta thường xét các tập con của tập hợp tất cả các đối tượng cần nghiên cứu.