✨Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel

Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel

Trong lý thuyết tập hợp, lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel, được đặt theo tên của các nhà toán học Ernst Zermelo và Abraham Fraenkel, là một hệ thống tiên đề được đề xuất vào đầu thế kỷ XX để xây dựng một lý thuyết tập hợp không còn các nghịch lý như nghịch lý Russell.

Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel thường được ký hiệu là ZF. Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel cùng với tiên đề chọn được ký hiệu là ZFC.

Các tiên đề

1. Tiên đề quảng tính

Một tập hợp hoàn toàn được xác định bởi các phần tử của nó

: $\forall x \forall y [\forall z (z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow x = y].$

2. Tiên đề chính tắc

Mọi tập không rỗng $x$ chứa một phần tử $y$ sao cho $x$ và $y$ là rời nhau.

: $\forall x [\exists a (a \in x) \Rightarrow \exists y (y \in x \land \nexists z (z \in y \land z \in x))].$

3. Tiên đề tuyển lựa (tiên đề nội hàm)

Ta có thể xây dựng một tập hợp $y$ từ các phần tử $x$ trong tập hợp $z$ thỏa mãn các tính chất nhất định. Cố định một tính chất $\phi$ , ta có

: $\forall z \exists y \forall x [x \in y \Leftrightarrow ((x \in z)\land \phi(x))].$

4. Tiên đề cặp

Nếu $x$ và $y$ là các tập hợp thì tồn tại một tập hợp chứa $x$ và $y$ như các phần tử

: $\forall x \forall y \exists z ((x \in z) \land (y \in z)).$

Theo tiên đề quảng tính, tập hợp đó là duy nhất.

5. Tiên đề hợp

: $\forall \mathcal{F} \,\exists A \, \forall Y\, \forall x [(x \in Y \land Y \in \mathcal{F}) \Leftrightarrow x \in A].$

6. Tiên đề thay thế

Tiên đề này được sử dụng trong quy nạp siêu hạn với số thứ tự.

: $\forall A\forall w_1 \forall w_2\ldots \forall w_n \bigl[\forall x (x\in A \Rightarrow \exists! y\,\phi) \Rightarrow \exists B \ \forall x \bigl(x\in A \Rightarrow \exists y (y\in B \land \phi)\bigr)\bigr].$

7. Tiên đề vô hạn

Đặt $S(w)$ là tập hợp $w \cup {w}$ .Ta có

: $\forall x \exists y \forall z [z \subseteq x \Rightarrow z \in y].$

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel

Trong lý thuyết tập hợp, **lý thuyết** **tập hợp** **Zermelo-Fraenkel**, được đặt theo tên của các nhà toán học Ernst Zermelo và Abraham Fraenkel, là một hệ thống tiên đề được đề xuất vào đầu

💫 Lý thuyết tập hợp

thumb|right|Một [[sơ đồ Venn mô phỏng phép giao của hai tập hợp.]] **Lý thuyết tập hợp** (tiếng Anh: _set theory_) là ngành toán học nghiên cứu về tập hợp. Mặc dù bất kỳ đối tượng

💫 Lớp (lý thuyết tập hợp)

Trong lý thuyết tập hợp và các ứng dụng của nó quanh toán học, **lớp** là họ của các tập (và đôi khi trên cả các đối tượng toán học khác) và được định nghĩa

💫 Tập hợp (toán học)

Một tập hợp hình đa giác trong một [[biểu đồ Euler]] Tập hợp các số thực (R), bao gồm các số hữu tỷ (Q), các số nguyên (Z), các số tự nhiên (N). Các số

💫 Giả thuyết continuum

nhỏ|So sánh lực lượng hai tập hợp **Giả thuyết continuum** hay **bài toán continuum** là một giả thuyết toán học, cho rằng không có tập hợp nào có lực lượng lớn hơn lực lượng của

💫 Tiên đề chọn

thumb|Hình minh họa tiên đề chọn, với mỗi và lần lượt biểu diễn một bình và một viên bi thumb| là một [[họ chỉ số vô hạn các tập hợp với tập chỉ số là

💫 Số thực

right|thumb|Kí hiệu tập hợp **số thực** (ℝ) Trong toán học, một **số thực** là một giá trị của một đại lượng liên tục có thể biểu thị một khoảng cách dọc theo một đường thẳng

💫 Số vô hạn

**Số vô hạn** là các số được định nghĩa là _vô hạn_ (transfinite) nếu chúng chỉ lớn hơn số hữu hạn, chứ không phải là vô hạn tuyệt đối (infinity) một cách cần thiết. Người

💫 Phép giao

phải|nhỏ|Giao của _A_ và _B_ Cho _A_ và _B_ là hai tập hợp. **Giao** hay **Intersection** của _A_ và _B_ là tập gồm những phần tử thuộc cả _A_ và _B_, ngoài ra không có

💫 Paul Cohen

**Paul Joseph Cohen** (2 tháng 4 năm 1934 – 23 tháng 3 năm 2007) là một nhà toán học người Mỹ nổi tiếng với chứng minh một cách độc lập về giả thuyết continuum và

💫 Tập hợp vô hạn

Trong lý thuyết tập hợp, một **tập hợp vô hạn** là một tập hợp mà không phải là một tập hợp hữu hạn. Các tập hợp vô hạn có thể là đếm được hoặc không

💫 Các định lý bất toàn của Gödel

**Các định lý bất toàn của Gödel**, hay gọi chính xác là **Các định lý về tính bất hoàn chỉnh của Gödel** (tiếng Anh: **Gödel's incompleteness theorems**, tiếng Đức: **Gödelscher Unvollständigkeitssatz**), là hai định lý

💫 Nghịch lý Russell

Trong cơ sở của toán học, **Nghịch lý Russell** hay **Mâu thuẫn Russell** (đặt tên theo nhà triết học Bertrand Russell, người tìm ra nó vào năm in 1901) cho thấy rằng thuyết tập hợp

💫 Georg Cantor

**Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor** (; – 6 tháng 1 năm 1918) là một nhà toán học người Đức, được biết đến nhiều nhất với tư cách cha đẻ của lý thuyết tập hợp, một

💫 Tiền thứ tự

thumb|[[Sơ đồ Hasse của tiền thứ tự _x R y_ định nghĩa bởi _x_//4≤_y_//4 trên các số tự nhiên. Bởi các chu trình, _R_ không phản xứng. Nếu tất cả các số trong chu trình

💫 Logic toán

**Logic toán** là một ngành con của toán học có liên hệ gần gũi với cơ sở toán học, khoa học máy tính lý thuyết, logic triết học. Ngành này bao gồm hai phần: nghiên

💫 Cặp được sắp

thumb|[[Hình học giải tích gán mỗi điểm trong mặt phẳng Euclid một cặp được sắp. Đường elip đỏ tương ứng với tập các cặp (_x_,_y_) sao cho+_y_²=1.]] Trong toán học, **cặp được sắp** (hay **cặp

💫 Triết học toán học

**Triết học toán học** là nhánh của triết học nghiên cứu các giả định, nền tảng và ý nghĩa của toán học, và các mục đích để đưa ra quan điểm về bản chất và