✨Phép giao

phải|nhỏ|Giao của A và B Cho A và B là hai tập hợp. Giao hay Intersection của A và B là tập gồm những phần tử thuộc cả A và B, ngoài ra không có phần tử nào khác. Giao của A và B được viết là "A ∩ B". Nói một cách đơn giản, giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử mà cả A và B có điểm chung.

Biểu tượng giao nhau đôi khi được thay thế bằng từ "và" giữa hai tập hợp. Từ này gợi ý ký hiệu nhỏ gọn hơn cho giao lộ thường được sử dụng. Một cách để nhớ rằng biểu tượng ∩ này đề cập đến giao lộ là nhận thấy sự giống nhau của nó với chữ A viết hoa, viết tắt của từ "và" trong tiếng Anh.

Ký hiệu và ví dụ

Phép giao được ký hiệu bằng "$\backslash cap$"; Ví dụ chẳng hạn:

• $\backslash \{1,2,3\backslash \}\backslash cap\backslash \{2,3,4\backslash \}=\backslash \{2,3\backslash \}$
• $\backslash \{1,2,3\backslash \}\backslash cap\backslash \{4,5,6\backslash \}=\backslash varnothing$
• $\backslash Z\backslash cap\backslash N=\backslash N$
• $\backslash \{x\backslash in\backslash R:x^2=1\backslash \}\backslash cap\backslash N=\backslash \{1\backslash \}$

Giao của nhiều hơn hai tập hợp (phép giao tổng quát) thường được viết là:

tương tự với ký hiệu sigma viết hoa.

Định nghĩa

thumb|Giao của ba tập hợp:
$~A\; \backslash cap\; B\; \backslash cap\; C$ thumb|Giao của ba bảng chữ cái (không địa phương) [[Chữ Hy Lạp|Hy Lạp, Latin, và Kirin, chỉ quan tâm tới hình dạng của chữ cái và không xét cách phát âm]] thumb|Ví dụ giao nhau bằng hình dạng Giao của hai tập hợp $A$ và $B,$, ký hiệu bởi $A\; \backslash cap\; B,$ là tập các đối tượng vừa thuộc tập hợp $A$ và vừa thuộc tập hợp $B.$ Khi viết bằng ký hiệu:

Nghĩa là, $x$ là phần tử của giao $A\; \backslash cap\; B$ khi và chỉ khi $x$ vừa là phần tử của $A$ và vừa là phần tử của $B.$ , song trong lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel, tập phổ dụng không tồn tại.

Mặc dù vậy, nếu giới hạn về các tập con của một tập $X$ cho trước, thì giao của họ rỗng các tập con của $X$ được định nghĩa tốt. Trong trường hợp này, nếu $M$ rỗng thì giao của nó sẽ là $\backslash bigcap\; M=\backslash bigcap\backslash varnothing=\{x\backslash in\; X:\; x\backslash in\; A\; \backslash text\{\; với\; mọi\; \}A\backslash in\backslash varnothing\}$. Bởi $x\backslash in\; X$ đều thỏa mãn điều kiện, nên giao của họ rỗng các tập con của $X$ là toàn bộ của $X.$ Nói bằng công thức, $\backslash bigcap\backslash varnothing=X.$Cách hiểu này khớp với ý nghĩ rằng khi họ các tập con càng ngày càng nhỏ đi thì giao tương ứng của chúng càng trở nên lớn hơn; và trong trường hợp đặc biệt, giao của họ rỗng sẽ là toàn bộ tập nền.