Trong lý thuyết tập hợp, nghịch lý Cantor chỉ ra rằng không có tập hợp của tất cả các lực lượng. Đây có nguồn gốc từ định lý rằng không có số đếm nào là lớn nhất. Nói một cách không chính thức, nghịch lý này nói rằng tập hợp tất cả các "kích thước vô hạn" có thể không chỉ là vô hạn, mà còn lớn đến mức kích thước vô hạn của chính nó không thể là bất kỳ kích thước vô hạn nào trong tập hợp. Khó khăn này được xử lý trong lý thuyết tập tiên đề bằng cách tuyên bố rằng tập hợp này không phải là một tập hợp mà là một lớp thích hợp ; trong lý thuyết tập hợp von Neumann – Bernays – Gödel, nó dựa trên điều này và tiên đề về giới hạn của kích thước rằng lớp thích hợp này phải là song ánh với lớp của tất cả các tập hợp. Do đó, nó không chỉ có vô số số vô hạn, mà thứ vô hạn này còn lớn hơn bất kỳ số vô hạn nào mà nó liệt kê.Nghịch lý này được đặt theo tên của Georg Cantor, người thường được cho là người đầu tiên chỉ ra nó vào năm 1899 (hoặc giữa các năm 1895 và 1897). Giống như một số "nghịch lý", nó không thực sự mâu thuẫn mà chỉ là biểu hiện của một trực giác sai lầm, trong trường hợp này là về bản chất của vô hạn và khái niệm về một tập hợp. Nói cách khác, nó là nghịch lý trong giới hạn của lý thuyết tập hợp ngây thơ và do đó chứng tỏ rằng việc tiên đề hóa bất cẩn của lý thuyết này là không phù hợp.
Phát biểu và chứng minh
Để phát biểu nghịch lý này, cần phải hiểu rằng các lực lượng thừa nhận một thứ tự, để người ta có thể nói về một số lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số khác. Khi đó, nghịch lý của Cantor được phát biểu là:
Định lý: Không có số lực lượng lớn nhất.
Thực tế này là hệ quả trực tiếp của định lý Cantor về tính cơ bản của tập hợp lũy thừa của một tập hợp.
Chứng minh: Giả sử xảy ra điều ngược lại, ta gọi C là số lực lượng lớn nhất. Khi đó (trong công thức von Neumann của lực lượng) C là một tập hợp và do đó có một tập lũy thừa 2C (tập chứa tất cả các tập hợp con của C), theo định lý Cantor, có lực lượng lớn hơn C. Việc chứng minh một lực lượng (cụ thể là 2C) lớn hơn C, mà được giả định là lực lượng lớn nhất, làm sai lệch định nghĩa của C. Sự mâu thuẫn này cho thấy rằng một lực lượng như vậy không thể tồn tại.
Một hệ quả khác của định lý Cantor là các số chính tạo thành một lớp thích hợp . Có nghĩa là, tất cả chúng không thể được thu thập cùng nhau như các phần tử của một tập hợp duy nhất. Đây là một kết quả phần nào tổng quát hơn.
Định lý: Nếu S là một tập bất kỳ thì S không thể chứa các phần tử của tất cả các lực lượng. Trên thực tế, có một giới hạn trên nghiêm ngặt đối với các lực lượng của các phần tử của S.
Chứng minh: Gọi S là một tập hợp, và gọi T là hợp các phần tử của S. Khi đó mọi phần tử của S là một tập con của T, và do đó có lực lượng nhỏ hơn hoặc bằng lực lượng của T. Khi đó định lý đường chéo Cantor ngụ ý rằng mọi phần tử của S đều có lực lượng nhỏ hơn lực lượng của 2T.
👁️
1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
Trong lý thuyết tập hợp, **nghịch lý Cantor** chỉ ra rằng không có tập hợp của tất cả các lực lượng. Đây có nguồn gốc từ định lý rằng không có số đếm nào là
thế=In this animation depicting an infinite and homogeneous sky, successively more distant stars are revealed in each frame. As the animation progresses, the more distant stars fill the gaps between closer stars in the field
Trong cơ sở của toán học, **Nghịch lý Russell** hay **Mâu thuẫn Russell** (đặt tên theo nhà triết học Bertrand Russell, người tìm ra nó vào năm in 1901) cho thấy rằng thuyết tập hợp
**Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor** (; – 6 tháng 1 năm 1918) là một nhà toán học người Đức, được biết đến nhiều nhất với tư cách cha đẻ của lý thuyết tập hợp, một
thumb|right|Một [[sơ đồ Venn mô phỏng phép giao của hai tập hợp.]] **Lý thuyết tập hợp** (tiếng Anh: _set theory_) là ngành toán học nghiên cứu về tập hợp. Mặc dù bất kỳ đối tượng
phải|nhỏ|325x325px|Một minh hoạ của tranh luận đường chéo của Cantor (ở cơ sở 2) cho sự tồn tại của [[Tập hợp không đếm được|các tập hợp không đếm được. Chuỗi ở phía dưới không thể
**Lý thuyết tập hợp ngây thơ** là bất kỳ lý thuyết nào trong số các lý thuyết tập hợp được sử dụng trong cuộc thảo luận về nền tảng của toán học. Không giống như
**Các định lý bất toàn của Gödel**, hay gọi chính xác là **Các định lý về tính bất hoàn chỉnh của Gödel** (tiếng Anh: **Gödel's incompleteness theorems**, tiếng Đức: **Gödelscher Unvollständigkeitssatz**), là hai định lý
Một tập hợp hình đa giác trong một [[biểu đồ Euler]] Tập hợp các số thực (R), bao gồm các số hữu tỷ (Q), các số nguyên (Z), các số tự nhiên (N). Các số
Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết tập hợp, **tập hợp lũy thừa** (hay còn gọi là **tập lũy thừa**, **tập hợp các bộ phận**, **tập các bộ phận**, **tập hợp các tập
**John von Neumann** (**Neumann János**; 28 tháng 12 năm 1903 – 8 tháng 2 năm 1957) là một nhà toán học người Mỹ gốc Hungary và là một nhà bác học thông thạo nhiều lĩnh
**David Hilbert** (23 tháng 1 năm 1862, Wehlau, Đông Phổ – 14 tháng 2 năm 1943, Göttingen, Đức) là một nhà toán học người Đức, được công nhận như là một trong những nhà toán
**Galileo di Vincenzo Bonaiuti de' Galilei** (; phiên âm tiếng Việt: **Ga-li-lê**; sinh ngày 15 tháng 2 năm 1564 – mất ngày 8 tháng 1 năm 1642), cũng thường được gọi ngắn gọn là **Galileo**, là
**Logic toán** là một ngành con của toán học có liên hệ gần gũi với cơ sở toán học, khoa học máy tính lý thuyết, logic triết học. Ngành này bao gồm hai phần: nghiên
**Logic** (hợp lý, hữu lý, hàm lý) hay **luận lý học**, từ tiếng Hy Lạp cổ đại λόγος (logos), nghĩa nguyên thủy là _từ ngữ_, hoặc _điều đã được nói_, (nhưng trong nhiều ngôn ngữ
Trong toán học và thống kê, một **phân phối xác suất** hay thường gọi hơn là một **hàm phân phối xác suất** là quy luật cho biết cách gán mỗi xác suất cho mỗi khoảng
nhỏ|240x240px| Hằng số toán học [[Pi| là một số vô tỉ được thể hiện nhiều trong văn hóa đại chúng. ]] phải|nhỏ|240x240px| Số [[Căn bậc hai của 2| là số vô tỉ ]] Trong toán
nhỏ|Biểu tượng **vô tận** **Vô hạn, vô cực, vô tận** (ký hiệu: ∞) là một khái niệm mô tả một cái gì đó mà không có bất kỳ giới hạn nào, hoặc một cái gì
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
Bài viết này là **danh sách các thuật toán** cùng một mô tả ngắn cho mỗi thuật toán. ## Thuật toán tổ hợp ### Thuật toán tổ hợp tổng quát * Thuật toán Brent: tìm
Trong toán học, **không gian Sobolev** là một không gian vectơ của các hàm số trang bị với một chuẩn là tổng của chuẩn _Lp_ của hàm số đó cùng với các đạo hàm cho
là một phần mềm tổng hợp giọng hát được phát triển bởi công ty Yamaha. Ban đầu nó chỉ là một dự án nghiên cứu chung do Kenmochi Hideki phát triển ở Đại học Pompeu
**Danh sách các nhà phát minh** được ghi nhận. ## Danh sách theo bảng chữ cái ### A * Vitaly Abalakov (1906–1986), Nga – các thiết bị cam, móng neo leo băng không răng ren