✨Mệnh đề toán học

Trong logic toán, một phân ngành logic, cơ sở của mọi ngành toán học, mệnh đề, hay gọi đầy đủ là mệnh đề logic là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa.

Thuộc tính cơ bản của một mệnh đề là giá trị chân lý của nó, được quy định như sau:

:Mỗi mệnh đề có đúng một trong hai giá trị chân lý 0 hoặc 1. Mệnh đề có giá trị chân lý 1 là mệnh đề đúng, mệnh đề có giá trị chân lý 0 là mệnh đề sai.

Ký hiệu: : Người ta thường dùng các chữ cái a, b, c,... để ký hiệu cho các mệnh đề. : Nếu mệnh đề a có giá trị chân lý là 1 thì ta ký hiệu G(a) = 1; nếu mệnh đề a có giá trị chân lý là 0 thì ta ký hiệu là G(a) = 0.

Chẳng hạn, để ký hiệu a là mệnh đề "Paris là thủ đô của nước Pháp" ta sẽ viết: : a = "Paris là thủ đô của nước Pháp" hoặc : a: "Paris là thủ đô của nước Pháp". Ở đây, a là mệnh đề đúng nên G(a) = 1.

Chú ý: :1. Trong thực tế có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác. Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lý đúng hoặc sai. Chẳng hạn: :: Sáng nay bạn An đi học. :: Trời mưa. :: Học sinh tiểu học đang đi nghỉ hè. :2. Ta thừa nhận các luật sau đây của logic mệnh đề: ::Luật bài trùng: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng, hoặc sai; không có mệnh đề nào không đúng cũng không sai. :: Luật mâu thuẫn: Không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai. :3. Có những mệnh đề mà ta không biết (hoặc chưa biết) đúng hoặc sai nhưng biết "chắc chắn" nó nhận một giá trị. Chẳng hạn: :: Trên Sao Hỏa có sự sống.

Mệnh đề và câu

Mệnh đề có thể là một câu nhưng không phải mọi câu đều là mệnh đề. Có thể chia các câu trong khoa học cũng như trong cuộc sống ra làm hai loại: loại thứ nhất gồm những câu phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan và loại thứ hai gồm những câu không phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào. Những câu thuộc loại thứ nhất là chính những mệnh đề. Vì vậy có thể nói: "Mệnh đề là một câu khẳng định có tính chất hoặc đúng hoặc sai".

Ví dụ:

Nhận xét: nói chung những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu mệnh lệnh đều không phải là mệnh đề.

Mệnh đề logic và mệnh đề mờ

Nếu như trong logic toán, một mệnh đề chỉ có thể nhận một trong hai giá trị chân lý 0 hoặc 1 thì trong Trí tuệ nhân tạo người ta dùng logic mờ, mà ở đó giá trị chân lý của một mệnh đề là một số nằm giữa 0 và 1. Mệnh đề có giá trị chân lý 0 là sai, có giá trị chân lý 1 là đúng. Còn giá trị chân lý nằm giữa 0 và 1 chỉ ra mức độ thay đổi của chân lý.

Các phép toán logic cơ bản

Trong toán học, khi có hai số, người ta dùng các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia,...) tác động vào chúng để nhận được những số mới. Tương tự, khi có mệnh đề, người ta dùng các phép logic tác động vào chúng để nhận được những mệnh đề mới. Dưới đây ta trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phép toán này.

Phép phủ định

Mệnh đề phủ định: Mệnh đề phủ định của mệnh dề a là mệnh đề có giá trị đối lập với mệnh đề a, kí hiệu là $\backslash overline\{a\}$.

Phủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, ký hiệu là $\backslash overline\{a\}$, đúng khi a sai và sai khi a đúng.

Ví dụ 1:

Nếu a = "Paris là thủ đô của nước Pháp" thì mệnh đề phủ định $\backslash overline\{a\}$ có thể diễn đạt như sau: : $\backslash overline\{a\}$ = "Không phải Paris là thủ đô của nước Pháp" : hoặc $\backslash overline\{a\}$ = "Paris không phải là thủ đô của nước Pháp". Ở đây G(a) = 1 còn G($\backslash overline\{a\}$) = 0.

Ví dụ 2:

Nếu b = "15 lớn hơn 30" thì mệnh đề phủ định $\backslash overline\{b\}$ có thể diễn đạt như sau: : $\backslash overline\{b\}$ = "Không phải 15 lớn hơn 30" : hoặc $\backslash overline\{b\}$ = "15 không lớn hơn 30" :* hoặc $\backslash overline\{b\}$ = "15 nhỏ hơn hoặc bằng 30" Ở đây G(b) = 0 còn G($\backslash overline\{b\}$) = 1.

Ví dụ 3:

Nếu c = "Chuyến tàu TN1 hôm nay bãi bỏ" thì mệnh đề phủ định $\backslash overline\{c\}$ có thể diễn đạt như sau:

:::$\backslash overline\{c\}$ = "Chuyến tàu TN1 hôm nay không bãi bỏ".

Nếu qua xác minh mệnh đề c đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ định $\backslash overline\{c\}$ sẽ sai (hoặc đúng).

Chú ý: Mệnh đề phủ định a thường được diễn đạt là "không phải a".

Phép hội (Tương Đương Hàm Min)

Hội của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề, đọc là a và b, ký hiệu a Λ b (hoặc a.b, [a\intersec b]), đúng khi cả hai mệnh đề a, b cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại.

Chú ý: Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ "và" hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó là: mà, nhưng, song, đồng thời, vẫn, cùng,... hoặc dùng dấu phẩy hoặc không dùng liên từ gì.

Ví dụ 1:

"Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh" là hội của hai mệnh đề a = "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội" và b = "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở thành phố Hồ Chí Minh". Vì hai mệnh đề này không thể cùng đúng, nên G(a Λ b) = 0.

Ví dụ 2:

"Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước nhưng không phải là thủ đô" là hội của hai mệnh đề a = "Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước" và b = "Thành phố Hồ Chí Minh không phải là thủ đô". Rõ ràng là G(a) = 1 và G(b) = 1 nên G(a Λ b) = 1.

Ví dụ 3:

: "Số π lớn hơn 2 song nhỏ hơn 3". : "Chị Nga nói thạo tiếng Pháp mà không biết tiếng Anh". : "ABC là tam giác vuông cân" là hội của hai mệnh đề a = "ABC là tam giác vuông" và b = "ABC là tam giác cân". : "Không những trời nắng to mà còn gió tây". :* "Chồng cày, vợ cấy, con trâu đi bừa".

Chú ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ "và" nhưng không có nghĩa của mệnh đề hội. Chẳng hạn: : "Số lẻ và số chẵn là hai tập con rời nhau của tập số tự nhiên". : "Hùng đạt được tất cả 20 điểm 9 và 10".

Phép tuyển (Tương Đương Hàm Max)

Tuyển của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề đọc là a hoặc b, ký hiệu là a ν b (hoặc a+b), sai khi cả hai mệnh đề cùng sai và đúng trong trường hợp còn lại.

Phép tuyển trên còn được gọi là phép tuyển không loại trừ.

Phép tuyển loại trừ của hai mệnh đề a và b, chỉ đúng khi hoặc a, hoặc b đúng.

Chú ý: Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ "hoặc" (hay liên từ khác cùng loại).

Ví dụ 1:

"Tháng 12 có 31 ngày hoặc 2 + 2 = 4" là tuyển của hai mệnh đề a = "Tháng 12 có 31 ngày" và b = "2 + 2 = 4".

Ở đây G(a ν b) = 1.

Ví dụ 2:

: "3 nhỏ hơn hoặc bằng 4"   ← là mệnh đề đúng : "Số lẻ là số có chữ số tận cùng bằng 1, 3, 5, 7 hoặc 9"   ← là mệnh đề đúng :* "20 là số lẻ hoặc chia hết cho 3"   ← là mệnh đề sai

Chú ý: Trong thực tế, liên từ "hoặc" thường được dùng với hai nghĩa "loại trừ" và "không loại trừ".

• Phép tuyển "hoặc a hoặc b" là phép tuyển loại trừ để chỉ a hoặc b nhưng không thể cả a lẫn b.
• Phép tuyển "a hoặc b" là phép tuyển không loại trừ để chỉ a hoặc b và có thể cả a lẫn b.

Chẳng hạn: : "Hôm nay là ngày Chủ nhật hoặc ngày lễ"   ← là phép tuyển không loại trừ. : "20 là số lẻ hoặc nó chia hết cho 2"   ← là phép tuyển loại trừ.

Phép kéo theo

a kéo theo b là một mệnh đề, ký hiệu là a $\backslash rightarrow$ b, chỉ sai khi a đúng và b sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

Chú ý: Mệnh đề a kéo theo b thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn:

"Nếu a thì b"
"Có b khi có a"
"Từ a suy ra b"
"a là điều kiện đủ để có b"
"b là điều kiện cần (ắt có) để có a"
.............. **Ví dụ:**

: "15 có chữ số tận cùng bằng 5 suy ra 15 chia hết cho 5"   ← mệnh đề đúng. : "Nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đèn sáng"   ← mệnh đề đúng.

Chú ý: :1. Trong logic, khi xét giá trị chân lý của mệnh đề a $\backslash Rightarrow$ b người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề a, b. Không phân biệt trường hợp a có phải là nguyên nhân để có b hay không, mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng. ::Ví dụ: :: "Nếu mặt trời quay quanh Trái Đất thì Việt Nam nằm ở châu Âu"   ← mệnh đề đúng. Vì ở đây hai mệnh đề a = "mặt trời quay quanh Trái Đất" và b = "Việt Nam nằm ở châu Âu" đều sai. :: "Nếu tháng 12 có 31 ngày thì mỗi năm có 13 tháng"   ← mệnh đề sai. :2. Theo bảng chân lý trên, ta thấy: :: Nếu a sai thì a $\backslash rightarrow$ b luôn đúng. :: Nếu a đúng thì a $\backslash rightarrow$ b đúng khi b đúng. :Vì vậy để chứng minh mệnh đề a $\backslash Rightarrow$ b đúng ta chỉ cần xét trường hợp a và b cùng đúng và phép chứng minh mệnh đề a $\backslash Rightarrow$ b được tiến hành theo ba bước: ::Bước 1. Giả sử a đúng. ::Bước 2. Từ giả thiết a đúng, dùng lập luận và các mệnh đề toán học đã biết, suy ra b đúng. ::Bước 3. Kết luận a $\backslash Rightarrow$ b luôn đúng. ::Trong mệnh đề a $\backslash Rightarrow$ b ta gọi a là giả thiết, b là kết luận. :3. Nếu ta coi a $\backslash Rightarrow$ b là mệnh đề thuận thì b $\backslash Rightarrow$ a là mệnh đề đảo, $\backslash overline\{a\}$ $\backslash Rightarrow$ $\backslash overline\{b\}$ là mệnh đề phản và $\backslash overline\{b\}$ $\backslash Rightarrow$ $\backslash overline\{a\}$ là mệnh đề phản đảo. :4. Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn đạt bằng nhiều hình thức phong phú. Chẳng hạn:

"Mấy đời bánh đúc có xương,
Mấy đời dì ghẻ có thương con chồng" ::: hoặc"Chuồn chuồn bay thấp thì mưa,
Bay cao thì nắng bay vừa thì râm".

Phép tương đương

a tương đương b là một mệnh đề, ký hiệu là a $\backslash Leftrightarrow$ b, nếu cả hai mệnh đề a và b cùng đúng hoặc cùng sai.

Chú ý: :1. Trong thực tế, mệnh đề "a tương đương b" thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn:

"a khi và chỉ khi b"
"a nếu và chỉ nếu b"
"a và b là hai mệnh đề tương đương"
"a là điều kiều kiện cần và đủ để có b" :2. Hai mệnh đề a, b tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lý (cùng đúng hoặc cùng sai). :::Ví dụ: ::: "Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi Trái Đất quay quanh mặt trời" là mệnh đề đúng. ::: "12 giờ trưa hôm nay Tuấn có mặt ở Hà Nội nếu và chỉ nếu vào giờ đó anh đang ở thành phố Hồ Chí Minh" là mệnh đề sai. :::* "Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố" là mệnh đề đúng.

:3. Một cách khác, người ta cũng nói rằng a tương đương b khi và chỉ khi cả hai mệnh đề a $\backslash Rightarrow$ b và b $\backslash Rightarrow$ a cùng đúng (hoặc cùng sai). Vì vậy để chứng minh mệnh đề a $\backslash Leftrightarrow$ b ta chứng minh hai mệnh đề a $\backslash Rightarrow$ b và b $\backslash Rightarrow$ a.

:4. Các cặp mệnh đề thuận và phản đảo, đảo và phản là những cặp mệnh đề tương đương. Đây chính là cơ sở của phương pháp chứng minh gián tiếp trong toán học.

==Sự tương đương logic

Công thức

Trong phần trên ta đã xét năm phép toán trên các mệnh đề. Như vậy, nếu có các mệnh đề a, b, c,... khi dùng các phép toán logic tác động vào, chúng ta sẽ nhận được những mệnh đề ngày càng phức tạp hơn. Mỗi mệnh đề như thế và cả những mệnh đề xuất phát ta gọi là công thức. Hay nói cách khác: :a) Mỗi mệnh đề gọi là một công thức. :b) Nếu P, Q là những công thức thì $\backslash overline\{P\}$, P Λ Q, P ν Q, P $\backslash Rightarrow$ Q, P $\backslash Leftrightarrow$ Q cũng đều là công thức. :c) Mọi dãy ký hiệu khác không xác định theo quy tắc a), b) đều không phải là công thức.

Mỗi công thức được tạo thành từ những mệnh đề dưới tác dụng của các phép toán logic. Như vậy ta gán cho mỗi mệnh đề có mặt trong công thức P một giá trị chân lý, dùng bảng chân lý của các phép logic ta khẳng định được công thức P là mệnh đề đúng hoặc sai. Nếu P là mệnh đề đúng (hoặc sai) thì ta nói công thức P có giá trị chân lý bằng 1 (hoặc 0 ).

Ví dụ: :* $\backslash overline\{a\; \backslash land\; \backslash overline\{a$   (1) là công thức có giá trị chân lý bằng 1 (với mọi mệnh đề a).

:* $\backslash overline\{(a\; \backslash rightarrow\; b)\; \backslash Leftrightarrow\; (\backslash overline\{b\}\; \backslash rightarrow\; \backslash overline\{a\})\}$   (2) là một công thức có giá trị chân lý bằng 0 (với mọi mệnh đề a, b)

Sự tương đương logic

Cho P và Q là hai công thức. Ta nói rằng hai công thức P, Q tương đương logic với nhau, ký hiệu là P ≡ Q, nếu với mọi hệ chân lý gán cho các mệnh đề có mặt trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân lý như nhau.

Đặc biệt, hai mệnh đề a, b gọi là tương đương logic, ký hiệu là a ≡ b, nếu chúng cùng đúng hoặc cùng sai.

Chú ý: :1. Ký hiệu a ≡ b là để chỉ hai mệnh đề tương đương logic chứ không phải là hai mệnh đề bằng nhau. :2. Hai mệnh đề tương đương logic có thể về nội dung chúng hoàn toàn không có liên quan. ::Chẳng hạn: "Tháng 2 có 31 ngày ≡ 2 + 2 = 11". :3. Quan hệ P ≡ Q còn được gọi là một đẳng thức.

Đẳng thức

Dưới đây là một số đẳng thức thường gặp trong logic mệnh đề:

Phủ định của phủ định

:(1)   $\backslash overline\{\backslash overline\{p$ ≡ p.

Luật De Morgan

:(2)   $\backslash overline\{p\; \backslash land\; q\}$ ≡ $\backslash overline\{p\}\; \backslash vee\; \backslash overline\{q\}$

:(3)   $\backslash overline\{p\; \backslash vee\; q\}$ ≡ $\backslash overline\{p\}\; \backslash land\; \backslash overline\{q\}$

Tính chất kết hợp của các phép logic

:(4)   (p Λ q) Λ r ≡ p Λ (q Λ r) :(5)   (p ν q) ν r ≡ p ν (q ν r)

Tính chất giao hoán của các phép logic

:(6)   p Λ q ≡ q Λ p :(7)   p ν q ≡ q ν p :(8)   p $\backslash leftrightarrow$ q ≡ q $\backslash leftrightarrow$ p

Tính chất phân phối

:(9)   p Λ (q ν r) ≡ (p Λ q) ν (p Λ r) :(10)   p ν (q Λ r) ≡ (p ν q) Λ (p ν r)

Tính lũy đẳng

:(11)   p Λ p ≡ p :(12)   p ν p ≡ p

Biểu diễn phép kéo theo qua các phép logic khác

:(13)   $p\; \backslash rightarrow\; q$ ≡ $\backslash overline\{p\}\; \backslash vee\; q$

:(14)   $p\; \backslash rightarrow\; q$ ≡ $\backslash overline\{p\; \backslash land\; \backslash overline\{q$

:(15)   $p\; \backslash rightarrow\; q$ ≡ $\backslash overline\{q\}\; \backslash rightarrow\; \backslash overline\{p\}$   (luật phản đảo)

Biểu diễn tương đương qua các phép logic khác

:(16)   $p\; \backslash leftrightarrow\; q$ ≡ $(p\; \backslash rightarrow\; q)\; \backslash land\; (q\; \backslash rightarrow\; p)$

:(17)   $p\; \backslash leftrightarrow\; q$ ≡ $\backslash overline\{p\}\; \backslash leftrightarrow\; \backslash overline\{q\}$

Các đẳng thức về 0 và 1

Người ta còn dùng ký hiệu 1 (hoặc 0) để chỉ một mệnh đề luôn luôn đúng (hoặc luôn luôn sai). Ta có các đẳng thức sau về 0 và 1: :(18)   p Λ 0 ≡ 0 :(19)   p ν 0 ≡ p :(20)   p Λ 1 ≡ p :(21)   p ν 1 ≡ 1 :(22)   p ν $\backslash overline\{p\}$ ≡ 1 (luật bài trung) :(23)   p Λ $\backslash overline\{p\}$ ≡ 0 (luật mâu thuẫn)

Chứng minh đẳng thức

Để chứng minh một đẳng thức trong logic mệnh đề ta thường dùng phương pháp lập bảng giá trị chân lý.

Ví dụ 1: Chứng minh: $\backslash overline\{a\; \backslash land\; b\}$   ≡   $\backslash overline\{a\}\; \backslash vee\; \backslash overline\{b\}$

Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức   $\backslash overline\{a\; \backslash land\; b\}$   và   $\backslash overline\{a\}\; \backslash vee\; \backslash overline\{b\}$   luôn nhận giá trị chân lý như nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2: Chứng minh: $a\; \backslash rightarrow\; b$   ≡   $\backslash overline\{b\}\; \backslash rightarrow\; \backslash overline\{a\}$

Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức   $a\; \backslash rightarrow\; b$   và   $\backslash overline\{b\}\; \backslash rightarrow\; \backslash overline\{a\}$   luôn nhận giá trị chân lý như nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Hàm mệnh đề. Các lượng từ tồn tại và tổng quát

Khái niệm về hàm mệnh đề

Ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: "Số tự nhiên n chia hết cho 5".

Về phương diện ngôn ngữ thì đây là một câu. Nhưng câu này chưa phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào, cho nên nó chưa phải là mệnh đề. Song nếu ta thay n bằng số tự nhiên cụ thể, chẳng hạn: : Thay n = 100 ta được mệnh đề đúng: "Số 100 chia hết cho 5". : Thay n = 101 ta được mệnh đề sai: "Số 101 chia hết cho 5".

Ví dụ 2: "x + 3 > 7".

Tương tự như trong ví dụ 1, x + 3 > 7 chưa phải là mệnh đề, song nếu ta thay x bởi một số thực cụ thể, chẳng hạn: : Thay x = 0 ta được mệnh đề sai: "0 + 3 > 7". : Thay x = 5 ta được mệnh đề đúng: "5 + 3 > 7".

Ví dụ 3: "Ông A là nhà toán học vĩ đại".

Câu trên chưa phải là mệnh đề. Nhưng nếu ta chọn "ông A" là "Gausơ" sẽ được mệnh đề đúng: "Gausơ là nhà toán học vĩ đại", nếu ta chọn "ông A" là "Đinh Bộ Lĩnh" thì sẽ được mệnh đề sai: "Đinh Bộ Lĩnh là nhà toán học vĩ đại".

Từ các ví dụ trên ta đi đến định nghĩa sau:

Những câu có chứa các biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề nhưng khi ta thay các biến đó bởi các phần tử thuộc tập xác định X thì nó trở thành mệnh đề (đúng hoặc sai) ta sẽ gọi là hàm mệnh đề (hoặc vị từ, hàm phán đoán, mệnh đề không xác định, mệnh đề chứa biến). Tập X gọi là miền xác định của hàm mệnh đề đó.

Ta dùng ký hiệu: T(n), F(x),... để chỉ các hàm mệnh đề.

Chẳng hạn: : Hàm mệnh đề T(n): "Số tự nhiên n chia hết cho 5" có miền xác định là tập các số tự nhiên N. Tập các số tự nhiên có tận cùng bằng 0 hoặc 5 là miền đúng của T(n). : Hàm mệnh đề F(x) = "x + 3 > 7" có miền xác định là các số thực. Tập các số thực lớn hơn 4 ta gọi là miền đúng của hàm mệnh đề F(x).

Mệnh đề tồn tại

Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Nếu ta đặt thêm cụm từ "Tồn tại $x\; \backslash in\; X$ sao cho..." vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:

Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tồn tại. Ký hiệu là:

$\backslash exists\; x\; \backslash in\; X:\; T(x)$ hoặc $\backslash exists\; x\backslash \; T(x)$
$x\; \backslash in\; X$

Ký hiệu $\backslash exists$ gọi là lượng từ tồn tại.

Ví dụ:

• Mệnh đề $\backslash exists\; x,y\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\},\; \backslash \; \backslash begin\{cases\}\; 3x+y=2\backslash \; y-7=\; -3x\; \backslash end\{cases\}$ là sai vì $\backslash begin\{cases\}\; 3x+y=2\backslash \; y-7=\; -3x\; \backslash end\{cases\}\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash begin\{cases\}\; 3x+y=2\backslash \; 3x+y=7\; \backslash end\{cases\}\; \backslash Leftrightarrow\; 2=7$ vô nghiệm với mọi $x,y\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$
• Mệnh đề $\backslash exists\; k\backslash in\; \backslash mathbb\{Z\},k\backslash neq\; \backslash pm\; 1,\; 4k(k+1)\; +\backslash frac\; 1\; \{k^3\}\; \backslash left(k^3\; +\; k\; +\; 1\backslash right)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$ là sai vì $4k(k+1)\; +\backslash frac\; 1\; \{k^3\}\; \backslash left(k^3\; +\; k\; +\; 1\backslash right)\; =\; (2k+1)^2\; +\; \backslash frac\; 1\; \{k^\; 2\}\; +\; \backslash frac\; 1\; \{k^3\}$ không là số nguyên khi $k\backslash neq\; \backslash pm\; 1$
• Mệnh đề $\backslash exists\; x,y,z,n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\; ,\; x^n+y^n=z^n$ đúng khi $n=2$

Chú ý: : 1. Trong thực tế, mệnh đề tồn tại còn được diễn đạt dưới những dạng khác nhau, chẳng hạn: :: "Tồn tại ít nhất một $x\; \backslash in\; X$ sao cho T(x)". :: "Có một $x\; \backslash in\; X$ sao cho T(x)". :: "Có ít nhất một $x\; \backslash in\; X$ sao cho T(x)". :: "Ít ra cũng có một người là nhà toán học". :: "Một số người là nhà toán học". :: "Có nhiều người là nhà toán học" ::*.................. : 2. Ta dùng ký hiệu $\backslash exists\; !\; x\; \backslash in\; X:\; T(x)$ với nghĩa "Tồn tại duy nhất một $x\; \backslash in\; X$ sao cho T(x)".

Mệnh đề tổng quát

Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Nếu ta đặt thêm cụm từ "Với mọi $x\; \backslash in\; X$ ta có..." vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:

Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tổng quát (hoặc toàn thể, phổ biến, phổ cập,...). Ký hiệu là:

$\backslash forall\; x\; \backslash in\; X,\backslash \; T(x)$

hoặc

$(\backslash forall\; x\; \backslash in\; X)\backslash \; T(x)$

hoặc

$\backslash forall\; x\; \backslash \; T(x)$
$x\; \backslash in\; X$ Ký hiệu $\backslash forall$ gọi là lượng từ tổng quát (hay toàn thể, phổ biến, phổ cập,...)

Ví dụ :

• Mệnh đề $\backslash forall\; x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\},\; x^4\; +\; x^2\; +\; x\; +1\; >0$ đúng vì :$x^4\; +\; x^2\; +\; x\; +1\; =\; x^4\; +\; x^2\; +\; 2x\backslash left(\; \backslash frac\; 1\; 2\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\; 1\; 4\; +\backslash frac\; 3\; 4\; =\; x^4\; +\; \backslash left(\; x\; +\backslash frac\; 1\; 2\; \backslash right)^2\; +\; \backslash frac\; 3\; 4\; >\; 0\; \backslash text\{\; \}\; \backslash forall\; x$
• Mệnh đề $\backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\; ,\; (n+3)^3\; +\; 8n^3\; ~\backslash vdots~\; 9$ đúng vì :$(n+3)^3\; +\; 8n^3\; =\; n^3\; +\; 9n^2\; +\; 27n\; +\; 27\; +\; 8n^3\; =\; 9n^3\; +\; 9n^2\; +\; 27n\; +\; 27\; =\; 9(n^3\; +\; n^2\; +\; 3n\; +\; 3)\; ~\backslash vdots~\; 9$

Phủ định của mệnh đề tồn tại và tổng quát

Phủ định các mệnh đề tồn tại và tổng quát được thiết lập theo hai quy tắc dưới đây:

$\backslash overline\{\backslash exists\; x\backslash in\; X:\; T(x)\}\backslash equiv\backslash forall\; x\; \backslash in\; X,\; \backslash overline\{T(x)\}\backslash \; \backslash \; v\; \backslash grave\{a\}\backslash \; \backslash \; \backslash overline\{\backslash forall\; x\; \backslash in\; X,\; T(x)\}\backslash equiv\; \backslash exists\; x\backslash in\; X:\; \backslash overline\{T(x)\}$

Như vậy, hai mệnh đề: : $\backslash exists\; x\backslash in\; X:\; T(x)$ và  $\backslash forall\; x\; \backslash in\; X,\; \backslash overline\{T(x)\}$ là phủ định của nhau. : $\backslash forall\; x\; \backslash in\; X,\; T(x)$ và  $\backslash exists\; x\backslash in\; X:\; \backslash overline\{T(x)\}$ là phủ định của nhau.

Ứng dụng.

Giải bài toán bằng suy luận logic

Thông thường khi giải một bài toán dùng công cụ của logic mệnh đề ta tiến hành theo các bước sau: :Bước 1: Phiên dịch đề bài từ ngôn ngữ đời thường sang ngôn ngữ của logic mệnh đề: : Tìm xem bài toán được tạo thành từ những mệnh đề nào. : Diễn đạt các điều kiện (đã cho và phải tìm) trong bài toán bằng ngôn ngữ của logic mệnh đề. :Bước 2: Phân tích mối liên hệ giữa điều kiện đã cho với kết luận của bài toán bằng ngôn ngữ của logic mệnh đề. :Bước 3: Dùng các phương pháp suy luận logic dẫn dắt từ các điều kiện đã cho tới kết luận của bài toán.

Ví dụ:

Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapore, Thái Lan và Indonesia. Trước khi thi đấu vòng bán kết, ba bạn Dụng, Quang, Trung dự đoán như sau: :Dụng: Singapore nhì, còn Thái Lan ba. :Quang: Việt Nam nhì, còn Thái Lan tư. :Trung: Singapore nhất và Indonesia nhì.

Kết quả, mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?

Giải:

Ký hiệu các mệnh đề: : d₁, d₂ là hai dự đoán của Dụng. : q₁, q₂ là hai dự đoán của Quang. :* t₁, t₂ là hai dự đoán của Trung.

Vì Dụng có một dự đoán đúng và một dự đoán sai, nên có hai khả năng: : Nếu G(d₁) = 1 thì G(t₁) = 0. Suy ra G(t₂) = 1. Điều này vô lý vì cả hai đội Singapore và Indonesia đều đạt giải nhì. : Nếu G(d₁) = 0 thì G(d₂) = 1. Suy ra G(q₂) = 0 và G(q₁) = 1. Suy ra G(t₂) = 0 và G(t₁) = 1.

Vậy Singapore nhất, Việt Nam nhì, Thái Lan ba còn Indonesia đạt giải tư.

Giải bài toán trong kĩ thuật

Mệnh đề logic còn được ứng dụng trong kĩ thuật lắp ráp các mạch điện và thiết bị trong nhà máy. Dưới đây là một ví dụ minh họa.

Ví dụ:

Giữa công tắc và dây may so của một chiếc Bàn là có rơle tự ngắt (để khi dây may so nóng đến nhiệt độ quy định cho phép thì rơle tự ngắt mạch điện cho Bàn là được an toàn). Hãy thiết lập nguyên tắc logic của quá trình hoạt động của chiếc Bàn là đó (thiết lập mối liên hệ giữa việc đóng, ngắt mạch của công tắc, rơle với nhiệt độ cho phép của dây may so).

Giải:

Ký hiệu các mệnh đề:

: c = "Công tắc Bàn là đóng mạch". : r = "Rơ le Bàn là đóng mạch". :* t = "Dây may so trong Bàn là nóng tới nhiệt độ cho phép".

Mối liên hệ giữa trạng thái an toàn của Bàn là và giá trị chân lý của các mệnh đề c, r, t có thể biểu diễn bởi bảng sau:

Nhìn vào bảng trên ta thấy: : Trạng thái 1 và 5 không đảm bảo an toàn, vì khi dây may so đã nóng tới nhiệt độ quy định cho phép mà rơle vẫn đóng mạch thì dẫn đến hỏng Bàn là hoặc đồ là. : Trạng thái 4 và 8 không đảm bảo an toàn vì dây may so chưa nóng tới nhiệt độ quy định cho phép mà rơle đã ngắt mạch thì Bàn là không sử dụng được.

Các trạng thái còn lại: 2, 3, 6 và 7 đều đảm bảo an toàn. Các trạng thái đó được mô tả bằng các công thức logic sau:

Vậy Bàn là hoạt động an toàn khi và chỉ khi: :$(c\; \backslash land\; r\; \backslash land\; \backslash overline\{t\})\; \backslash vee\; (c\; \backslash land\; \backslash overline\{r\}\; \backslash land\; t)\; \backslash vee\; (\backslash overline\{c\}\; \backslash land\; r\; \backslash land\; \backslash overline\{t\})\; \backslash vee\; (\backslash overline\{c\}\; \backslash land\; \backslash overline\{r\}\; \backslash land\; t)$   (1)

Áp dụng các đẳng thức về luật phân phối, các đẳng thức về 0 và 1 cho trạng thái 2 với 6 và 3 với 7, ta có: :$(c\; \backslash land\; r\; \backslash land\; \backslash overline\{t\})\; \backslash vee\; (\backslash overline\{c\}\; \backslash land\; r\; \backslash land\; \backslash overline\{t\})\; \backslash equiv\; (c\; \backslash vee\; \backslash overline\{c\})\; \backslash land\; (r\; \backslash land\; \backslash overline\{t\})\; \backslash equiv\; r\; \backslash land\; \backslash overline\{t\}$   (2)

:$(c\; \backslash land\; \backslash overline\{r\}\; \backslash land\; t)\; \backslash vee\; (\backslash overline\{c\}\; \backslash land\; \backslash overline\{r\}\; \backslash land\; t)\; \backslash equiv\; (c\; \backslash vee\; \backslash overline\{c\})\; \backslash land\; (\backslash overline\{r\}\; \backslash land\; t)\; \backslash equiv\; \backslash overline\{r\}\; \backslash land\; t$   (3)

Dùng bảng chân lý ta nhận được: :$(r\; \backslash land\; \backslash overline\{t\})\; \backslash vee\; (\backslash overline\{r\}\; \backslash land\; t)\; \backslash equiv\; (r\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash overline\{t\})\; \backslash equiv\; (\backslash overline\{r\}\; \backslash Leftrightarrow\; t)$             (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) ta suy ra:

Bàn là hoạt động an toàn khi và chỉ khi $(r\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash overline\{t\})\; \backslash equiv\; (\backslash overline\{r\}\; \backslash Leftrightarrow\; t)$

Quy trình trên ta có thể phát biểu thành lời như sau: để Bàn là hoạt động an toàn phải đảm bảo nguyên tắc: "Công tắc rơle đóng mạch khi và chỉ khi nhiệt độ dây may so chưa tới hạn cho phép" hay "nhiệt độ dây may so tới hạn cho phép khi và chỉ khi công tắc rơle ngắt mạch điện".