✨Kronecker delta

Trong toán học, ký hiệu Kronecker delta là một hàm số của hai biến, thường là các số nguyên không âm. Hàm số có giá trị 1 nếu hai biến bằng nhau, và 0 nếu chúng khác nhau:

hoặc bằng dấu ngoặc Iverson: $$\backslash delta\_\{ij\}\; =\; [i=j]\backslash ,$$ trong đó Kronecker delta là một hàm số xác định theo từng khoảng của các giá trị và . Ví dụ, , còn . Hàm Kronecker delta xuất hiện thường xuyên trong các ngành toán học, vật lý, và kỹ thuật để đơn giản hóa định nghĩa ở trên. Hàm số được đặt tên theo Leopold Kronecker.

Trong đại số tuyến tính, ma trận đơn vị kích thước có các phần tử xác định bằng Kronecker delta:

$$I\_\{ij\}\; =\; \backslash delta\_\{ij\}$$ trong đó và mang các giá trị . Ngoài ra, tích trong của các vectơ có thể được viết dưới dạng $$\backslash mathbf\{a\}\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\; =\; \backslash sum\_\{i,j=1\}^n\; \backslash delta\_\{ij\}a\_\{i\}b\_\{j\}\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; a\_\{i\}\; b\_\{i\}.$$

Thông thường, hàm Kronecker delta chỉ được xét trên tập số nguyên, tuy nhiên nó có thể được định nghĩa trên một tập hợp bất kỳ.

Tính chất

Ta có những đẳng thức sau

Do đó, ma trận có thể được coi như một ma trận đơn vị.

Một dạng khác cũng đôi khi được sử dụng là dạng chuỗi cấp số nhân:

$$\backslash delta\_\{nm\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{N\}\; \backslash sum\_\{k\; =\; 1\}^N\; e^\{2\; \backslash pi\; i\; \backslash frac\{k\}\{N\}(n-m)\}$$

Ký hiệu

Ta có thể biểu diễn Kronecker delta bằng dấu ngoặc Iverson:

$$\backslash delta\_\{ij\}\; =\; [i=j\; ].$$

Ngoài ra, ký hiệu một biến cũng thường xuất hiện, tương đương với việc cho :

Trong đại số tuyến tính, Kronecker delta có thể được coi là một tensor và ký hiệu bằng. Đôi khi nó được gọi là tensor thay thế.