✨Đáp ứng xung

phải|Đáp ứng xung từ một hệ thống âm thanh đơn giản. Xung ban đầu, với tần số cao, rồi tới tần số thấp. Đáp ứng xung của một hệ thống, như hệ thống cơ học hay hệ thống điện tử, là các quá trình biến đổi trạng thái của hệ thống đó sau khi có tác động vào bởi một xung, thường được mô hình hóa là hàm delta.

Ví dụ, việc gõ vào mặt trống là tác động của một xung vào hệ thống cơ học là cái trống, và đáp ứng của hệ thống là dao động tắt dần của mặt trống, phát ra âm thanh. Một ví dụ khác là một hệ điện tử có đầu vào và đầu ra, nhận tín hiệu vào là một xung điện áp, tín hiệu cho ra lúc này chính là đáp ứng xung của hệ thống điện tử.

Cơ sở toán học

Về mặt toán học, một xung có thể được mô hình hóa là một hàm delta, như hàm delta Dirac hay hàm delta Kronecker. Giả sử hệ thống, được cọi là một hộp đen có toán tử T, biến đổi đầu vào x[n] thành đầu ra y[n]:

:$y\backslash left[\; n\backslash right]\; =T\backslash left[\; x\backslash left[\; n\backslash right]\; \backslash right]$

T là tác vụ tác động lên một chuỗi đầu vào và cho ra một chuỗi đầu ra. T có thể là phi tuyến, ví dụ: $T\backslash left[\; x\backslash left[\; n\backslash right]\; \backslash right]\; =x^\{2\}\backslash left[\; n\backslash right]$ hay tuyến tính, ví dụ: $T\backslash left[\; x\backslash left[\; n\backslash right]\; \backslash right]\; =x\backslash left[\; n-1\backslash right]$.

Giả sử T là tuyến tính: :$T\backslash left[\; x\backslash left[\; n\backslash right]\; +y\backslash left[\; n\backslash right]\; \backslash right]\; =T\backslash left[\; x\backslash left[\; n\backslash right]\; \backslash right]\; +T\backslash left[\; y\backslash left[\; n\backslash right]\; \backslash right]$ và :$T\backslash left[\; \backslash lambda\; x\backslash left[\; n\backslash right]\; \backslash right]\; =\backslash lambda\; T\backslash left[\; x\backslash left[\; n\backslash right]\; \backslash right]$

Giả sử T là bất biến dưới các phép biến đổi tịnh tiến, nghĩa là: nếu $y\backslash left[\; n\backslash right]\; =T\backslash left[\; x\backslash left[\; n\backslash right]\; \backslash right]$ thì $y\backslash left[\; n-k\backslash right]\; =T\backslash left[\; x\backslash left[\; n-k\backslash right]\; \backslash right]$. Với một hệ thống như vậy, thì bất kì đầu ra nào cũng có thể được tính toán dựa trên 2 yếu tố: đầu vào và một chuỗi gọi là đáp ứng xung (chúng đặc trưng cho tính chất của hệ thống một cách đầy đủ). Cụ thể: :$x\backslash left[\; n\backslash right]\; =\backslash sum\_\{k\}x\backslash left[\; k\backslash right]\; \backslash delta\; \backslash left[\; n-k\backslash right]$

và áp dụng T lên hai phía

:$T\backslash left[\; x\backslash left[\; n\backslash right]\; \backslash right]\; =T\backslash left[\; \backslash sum\_\{k\}x\backslash left[\; k\backslash right]\; \backslash delta\; \backslash left[\; n-k\backslash right]\; \backslash right]$

Vì T là tuyến tính và bất biến với phép tịnh tiến

:$T\backslash left[\; x\backslash left[\; n\backslash right]\; \backslash right]\; =\backslash sum\_\{k\}x\backslash left[\; k\backslash right]\; T\backslash left[\; \backslash delta\; \backslash left[\; n-k\backslash right]\; \backslash right]$

Vì đầu ra y[k] cho bởi $y\backslash left[\; k\backslash right]\; =T\backslash left[\; x\backslash left[\; k\backslash right]\; \backslash right]$ ta có thể viết lại

:$y\backslash left[\; n\backslash right]\; =\backslash sum\_\{k\}x\backslash left[\; k\backslash right]\; T\backslash left[\; \backslash delta\; \backslash left[\; n-k\backslash right]\; \backslash right]$

Đặt

:$h\backslash left[\; n-k\backslash right]\; =T\backslash left[\; \backslash delta\; \backslash left[\; n-k\backslash right]\; \backslash right]$

ta có kết quả cuối cùng

:$y\backslash left[\; n\backslash right]\; =\backslash sum\_\{k\}x\backslash left[\; k\backslash right]\; h\backslash left[\; n-k\backslash right]$

Chuỗi $h\backslash left[\; n\backslash right]$ chính là đáp ứng xung của hệ thống đó. Và h[n] cũng chính là đầu ra của hệ thống khi đầu vào là hàm delta Kronecker. Kết quả tương tự với hệ thống thời gian liên tục.