✨Ma trận Laplace

Ma trận Laplace

Trong lý thuyết đồ thị, ma trận Laplace, hay còn gọi là ma trận Kirchhoff, hoặc ma trận dẫn nạp, là một cách biểu diễn đồ thị bằng ma trận. Theo định lý Kirchhoff, nó có thể dùng để tính số cây bao trùm của đồ thị. Ma trận Laplace cũng cung cấp nhiều thông tin khác về đồ thị; có thể xem chi tiết hơn ở lý thuyết phổ đồ thị. Bất đẳng thức Cheeger trong hình học Riemann cũng có một dạng rời rạc sử dụng ma trận Laplace. Nó có thể dùng để tính xấp xỉ lát cắt thưa nhất (tiếng Anh - sparsest cut) của đồ thị thông qua giá trị đặc trưng thứ hai của ma trận Laplace.

Định nghĩa

Cho một đồ thị G = (V, E) với tập hợp đỉnh V và tập hợp cạnh E, cùng với một hàm trọng số $w:E\rightarrow \mathbb{R}^+$ ( $\mathbb{R}^+$ dùng để chỉ tập hợp số thực dương). Ma trận kề A_G của đồ thị được định nghĩa như sau: : $A_G(i,j):=
\begin{cases}
w(i,j) & khi\ (i,j)\in E\
0 & khi\ (i,j)\not\in E
\end{cases}$ Ma trận bậc _D_G_ là một ma trận đường chéo được định nghĩa như sau: : $D_G(i,i):=\sum_j A_G(i,j)$ Ma trận Laplace _L_G_ được định nghĩa bởi : $L_G = D_G - A_G$

Có một định nghĩa khác tương đương như sau. Định nghĩa ma trận Laplace L_e của một cạnh e=(i,j) là ma trận với L_e(i,i)=L_e(j,j)=1 và L_e(i,j)=L_e(j,i)=-1. Ma trận L_G được định nghĩa bởi : $L$ G = \sum{e\in E}w_e L_e

Ví dụ

Dưới đây là một ví dụ đơn giản về một đồ thị có nhãn, vô hướng và ma trận Laplace của nó.

Tính chất

Với bất kì đồ thị G nào cùng với ma trận Laplace tương ứng với các giá trị đặc trưng $\lambda_0 \le \lambda$ 1 \le \cdots \le \lambda{n-1}:

L luôn xác định không âm ( $\forall i, \lambda_i \ge 0;\quad \lambda_0 = 0$ ).
Số giá trị đặc trưng của ma trận Laplace nhận giá trị 0 là số thành phần liên thông của đồ thị.
$\lambda_0$ luôn bằng 0 do mọi ma trận Laplace đều có vectơ đặc trưng $[1,1,\dots,1]$ tương ứng với giá trị đặc trưng 0.

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Ma trận Laplace

Trong lý thuyết đồ thị, **ma trận Laplace**, hay còn gọi là ma trận Kirchhoff, hoặc ma trận dẫn nạp, là một cách biểu diễn đồ thị bằng ma trận. Theo định lý Kirchhoff, nó

💫 Ma trận vuông

nhỏ| Một ma trận vuông bậc 4. Các giá trị

a_{ii}

tạo thành [[đường chéo chính của một ma trận vuông. Chẳng hạn, đường chéo chính của ma trận 4 nhân 4 ở trên chứa

💫 Ma trận (toán học)

phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a_2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất

💫 Khai triển Laplace

Trong đại số tuyến tính, **khai** **triển Laplace**, được đặt tên theo Pierre-Simon Laplace, còn được gọi là **khai triển phần bù đại số**, là một biểu thức cho định thức |_B_| của một ma

💫 Giá trị riêng và vectơ riêng

phải|nhỏ|250x250px|Ma trận biến đổi _A_ tác động bằng việc kéo dài vectơ _x_ mà không làm đổi phương của nó, vì thế _x_ là một vectơ riêng của _A_. Trong đại số tuyến tính, một

💫 Định thức

**Định thức**, trong đại số tuyến tính, là một hàm cho mỗi ma trận vuông _A_, tương ứng với số vô hướng, ký hiệu là **det**(_A_). Ý nghĩa hình học của định thức là tỷ

💫 Định lý Kirchhoff

Trong lý thuyết đồ thị, **định lý Kirchhoff**, hay **định lý Kirchhoff cho ma trận và cây**, đặt tên theo Gustav Kirchhoff, là một định lý về số cây bao trùm của một đồ thị.

💫 Danh sách chủ đề toán học

Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *

💫 Lý thuyết đồ thị

nhỏ|phải|Hình vẽ một đồ thị có 6 đỉnh và 7 cạnh Trong toán học và tin học, **lý thuyết đồ thị** (tiếng Anh: _graph theory_) nghiên cứu các tính chất của đồ thị. Một cách

💫 Đồ thị hai phía đầy đủ

Trong lý thuyết đồ thị, một **đồ thị hai phía đầy đủ** (tiếng Anh: Complete bipartite graph hoặc biclique) là một dạng đồ thị hai phía đặc biệt, trong đó mỗi đỉnh của tập thứ

💫 Lý thuyết điều khiển tự động

Khái niệm của vòng phản hồi dùng để điều khiển hành vi động lực của hệ thống: đây là phản hồi âm, vì giá trị cảm biến (sensor) bị trừ đi từ giá trị mong

💫 Hàm truyền

Trong kỹ thuật, **hàm truyền** (còn được gọi là **hàm hệ thống** hoặc **hàm mạng**) của thành phần hệ thống điện tử hoặc điều khiển là một hàm toán học mô hình hóa lý thuyết

💫 Phân phối chuẩn

\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!| cdf =

\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!

| mean =

\mu

| median =

\mu

| mode =

\mu

| variance =

\sigma^2

| skewness = 0| kurtosis =

0

| entropy =

\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!

| mgf =

M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

| char =

\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

| **Phân phối

💫 Hàm sinh mô men

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, **hàm sinh mô men** (**moment-generating function** hay **MGF**) của một biến ngẫu nhiên là một mô tả thay thế cho hàm phân phối xác suất của nó.

💫 Phân phối xác suất

Trong toán học và thống kê, một **phân phối xác suất** hay thường gọi hơn là một **hàm phân phối xác suất** là quy luật cho biết cách gán mỗi xác suất cho mỗi khoảng

💫 Kỹ thuật điều khiển

nhỏ|320x320px|Các hệ thống điều khiển đóng một vai trò quan trọng trong du hành không gian **Kỹ thuật điều khiển** hoặc **Kỹ thuật hệ thống điều khiển **là chuyên ngành kỹ thuật mà áp dụng

💫 Danh sách vấn đề mở trong toán học

Danh sách các vấn đề mở trong toán học ## Danh sách các bài toán mở trong toán học nói chung Nhiều nha toán học và tổ chức đã xuất bản danh sách cái bài

💫 Nguyên tử hydro

phải|nhỏ|200x200px|Mô phỏng một nguyên tử hydro cho thấy đường kính bằng xấp xỉ hai lần bán kính [[mô hình Bohr. (Ảnh mang tính minh họa)]] Một **nguyên tử hydro** là một nguyên tử của nguyên

💫 Cơ học lượng tử

thumb|upright=1.3|Các [[hàm sóng của electron trong một nguyên tử hydro tại các mức năng lượng khác nhau. Cơ học lượng tử không dự đoán chính xác vị trí của một hạt trong không gian, nó

💫 Logarit

💫 Quy tắc Sarrus

phải|nhỏ|_Quy tắc Sarrus_: Định thức của ba cột bên trái là tổng của các tích chéo xuống sang phải trừ đi tổng của các tích chéo lên sang phải **Quy tắc Sarrus** là một phương pháp

💫 Danh sách thuật toán

Bài viết này là **danh sách các thuật toán** cùng một mô tả ngắn cho mỗi thuật toán. ## Thuật toán tổ hợp ### Thuật toán tổ hợp tổng quát * Thuật toán Brent: tìm

💫 Quá trình Gram–Schmidt

phải|khung|Hai bước đầu tiên của quá trình Gram–Schmidt Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực đại số tuyến tính và giải tích số, **quá trình Gram–Schmidt** là một phương pháp trực chuẩn hóa

💫 Hệ quy chiếu quay

**Hệ quy chiếu quay** là một hệ quy chiếu phi quán tính quay so với một hệ quy chiếu quán tính. Ví dụ về hệ quy chiếu quay có thể thấy được hằng ngày là

💫 Ánh xạ

thumb|220x124px | right | Ánh xạ liên tục giữa hai topo Trong toán học, **ánh xạ** (Tiếng Anh: _mapping/_ Tiếng Hán:映射) là một khái niệm chỉ quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp liên

💫 Phần bù bình phương

Trong đại số sơ cấp, **phần bù bình phương** là phương thức chuyển đổi một đa thức bậc hai theo dạng :

ax^2 + bx + c\,\!

thành dạng :

a(\cdots\cdots)^2 + \mbox{constant}.\,

Theo

💫 Thủy triều

Triều lên (nước lớn) và triều xuống (nước ròng) tại [[vịnh Fundy.]] **Thủy triều** là hiện tượng nước biển, nước sông... lên xuống trong một chu kỳ thời gian phụ thuộc biến chuyển thiên văn.

💫 Lịch sử thiên văn học

_[[Nhà thiên văn học (Vermeer)|Nhà thiên văn_, họa phẩm của Johannes Vermeer, hiện vật bảo tàng Louvre, Paris]] **Thiên văn học** là một trong những môn khoa học ra đời sớm nhất trong lịch sử

💫 Hải Phòng

**Hải Phòng** là một trong sáu thành phố trực thuộc trung ương của Việt Nam. Đây là thành phố lớn thứ 3 Việt Nam về quy mô kinh tế, đồng thời là một thành phố

💫 Đồ Sơn (quận)

**Đồ Sơn** là một quận nội thành cũ thuộc thành phố Hải Phòng, Việt Nam. ## Địa lý Quận Đồ Sơn nằm ở phía đông nam thành phố Hải Phòng, cách trung tâm thành phố

💫 Xa lộ Liên tiểu bang 55

**Xa lộ Liên tiểu bang 55** (tiếng Anh: _Interstate 55_ hay viết tắt là **I-55**) là một xa lộ liên tiểu bang tại miền trung Hoa Kỳ. Chữ số lẽ của xa lộ cho biết

💫 Ngụy biện con bạc

_Kẻ bạc gian_ (Le Tricheur), họa phẩm của [[Georges de La Tour, trưng bày tại bảo tàng Louvre, Paris]] **Ngụy biện con bạc**, hay **ngụy biện của tay cá cược**, **ngụy biện Monte Carlo** hoặc

💫 Lịch sử Hawaii

Lịch sử con người ở Hawaii bao gồm giai đoạn đầu định cư của người Polynesia, người Anh đến đảo, thống nhất, người nhập cư Âu–Mỹ và châu Á, việc lật đổ chế độ quân

💫 Tốc độ âm thanh

**Vận tốc âm thanh** hay **tốc độ âm thanh** là tốc độ của sự lan truyền sóng âm thanh trong một môi trường truyền âm (xét trong hệ quy chiếu mà môi trường truyền âm

💫 Darwin's Game

là một bộ truyện manga Nhật Bản do FLIPFLOPs sáng tác và minh họa. Nội dung nói về học sinh trung học Sudou Kaname tham gia vào một trò chơi sinh tử trên di động

💫 Blaise Pascal

**Blaise Pascal** (; 19 tháng 6 năm 1623 – 19 tháng 8 năm 1662) là nhà toán học, vật lý, nhà phát minh, tác gia, và triết gia Công giáo người Pháp. Là cậu bé

💫 Danh sách nhân vật liên quan với Hải Phòng

Hoa phượng đỏ, biểu tượng của người Hải Phòng Dưới đây là **danh sách những nhân vật tiêu biểu** là những người đã sinh ra tại Hải Phòng, có quê quán (nguyên quán) ở Hải

💫 Bệnh màng trong

## Dịch tễ **Bệnh màng trong** (HMD: Hyaline Membrane Disease) hay còn gọi **hội chứng suy hô hấp sơ sinh** (Neonatal Respiratory Distress Syndrome) có thể gặp ở 1% tất cả trẻ sơ sinh, vào

💫 Lỗ đen

[[Đĩa bồi tụ bao quanh lỗ đen siêu khối lượng ở trung tâm của thiên hà elip khổng lồ Messier 87 trong chòm sao Xử Nữ. Khối lượng của nó khoảng 7 tỉ lần khối

💫 Leonhard Euler

**Leonhard Euler** ( , ; 15 tháng 4 năm 170718 tháng 9 năm 1783) là một nhà toán học, nhà vật lý học, nhà thiên văn học, nhà lý luận và kỹ sư người Thụy

💫 Tiên Lãng (huyện)

**Tiên Lãng** là một huyện cũ thuộc thành phố Hải Phòng, Việt Nam. ## Địa lý Huyện Tiên Lãng nằm ở phía nam của thành phố Hải Phòng, cách trung tâm thành phố khoảng 48 km,

💫 Về chuyện tôi chuyển sinh thành Slime

**_Về chuyện tôi chuyển sinh thành Slime_** (phát hành tại Việt Nam bởi Skybooks dưới ấn hiệu Skynovel), hay được biết tới tên gốc và gọi tắt là là loạt light novel kỳ ảo do

💫 Io (vệ tinh)

**Io** (IPA: ˈaɪoʊ; tiếng Hy Lạp: Ῑώ) là vệ tinh tự nhiên nằm phía trong cùng trong số bốn vệ tinh Galileo của Sao Mộc và với đường kính 3.642 kilômét, là vệ tinh lớn

💫 Khâu Thành Đồng

**Khâu Thành Đồng** (tên tiếng Anh: **Shing-Tung Yau**, chữ Hán: 丘成桐, sinh ngày 4 tháng 4 năm 1949), là một nhà toán học Hoa Kỳ gốc Hoa, giữ ghế giáo sư William Caspar Graustein tại

💫 Sao Thiên Vương

**Sao Thiên Vương** (tiếng Anh: **Uranus**) hay **Thiên Vương Tinh** (chữ Hán: 天王星) là hành tinh thứ bảy tính từ Mặt Trời, là hành tinh có bán kính lớn thứ ba và có khối lượng

💫 Joseph Louis Gay-Lussac

Gay-Lussac và [[Jean-Baptiste Biod|Biod trên một khinh khí cầu, 1804. Tranh cuối thế kỷ XIX.]] **Joseph Louis Gay-Lussac** (6 tháng 12 năm 1778 – 9 tháng 5 năm 1850) là một nhà hóa học, nhà

💫 Louis Philippe I xứ Orléans

**Louis Philippe I, Công tước xứ Orléans** còn được gọi là **le Gros** (Béo) (12 tháng 5 năm 1725 - 18 tháng 11 năm 1785) là một thân vương người Pháp, công tước đời thứ

💫 Sự ổn định của Hệ Mặt Trời

**Sự ổn định của Hệ Mặt Trời** là một chủ đề được điều tra nghiên cứu nhiều trong thiên văn học. Mặc dù các hành tinh là ổn định khi được quan sát theo dòng