✨Định nghĩa (ε, δ) của giới hạn

Định nghĩa (ε, δ) của giới hạn

thumb|right|Khi điểm nằm trong một khoảng so với , nằm trong một khoảng so với

Trong giải tích, định nghĩa $(\epsilon,\delta)$ của giới hạn (định nghĩa giới hạn bằng ký tự epsilon–delta) là một phát biểu chặt chẽ cho khái niệm của giới hạn. Khái niệm này xuất phát từ Augustin-Louis Cauchy, tuy không định nghĩa $(\epsilon,\delta)$ trong quyển Cours d'Analyse của mình, nhưng thỉnh thoảng dùng phép lập luận bằng $(\epsilon,\delta)$ trong các chứng minh của mình. Định nghĩa chặt chẽ đầu tiên được đưa bởi Bernard Bolzano năm 1817, và phát biểu hoàn chỉnh hiện đại do Karl Weierstrass đưa ra. Nó làm chặt chẽ định nghĩa không chính thức sau: hàm số $f(x)$ tiến tới giá trị $L$ khi biến số $x$ tiến tới giá trị $c,$ nếu $f(x)$ có thể ở gần $L$ tùy ý như mong muốn khi đưa $x$ đủ gần đến $c$ .

Lịch sử

Mặc dù người Hy Lạp cổ đại từng xem xét các quá trình giới hạn, như là phương pháp Babylon, nhiều khả năng họ không có khái niệm giới hạn giống như ngày nay. Nhu cầu cho khái niệm giới hạn xuất hiện trong thế kỷ 17 khi Pierre de Fermat cố tìm độ dốc của đường tiếp tuyến tại một điểm của một hàm số như là . Sử dụng một đại lượng khác không nhưng gần bằng không , Fermat đã tính độ dốc bằng cách sau:

: $\begin{align}
D & = \frac{f(x+E)-f(x)}{E} \
& = \frac{(x+E)^2-x^2}{E}\
& = \frac{x^2+2xE+E^2-x^2}{E} \
& = \frac{2xE+E^2}{E} = 2x+E = 2x.
\end{align}$

Điểm then chốt cho phép tính trên là do khác không nên ta có thể chia cho , nhưng do gần bằng không, cũng giống như . Đại lượng như được gọi là infinitesimal (vô cùng bé). Tuy nhiên, các nhà toán học thời đó không thể định nghĩa chặt chẽ một đại lượng với tính chất của như trên, nhưng các nhà toán học vận thường dùng các đại lượng vô cùng bé như thế và có vẻ vẫn cho ra kết quả đúng.

Vấn đề này lại xuất hiện sau đó trong việc phát triển bộ môn giải tích do những tính toán như của Fermat được dùng để tính đạo hàm. Isaac Newton lần đầu phát triển giải tích bằng một đại lượng vô cùng bé gọi là fluxion. Ông phát triển chúng với ý tưởng về một "khoảng khắc vô cùng ngắn..." Tuy nhiên, Newton sau đó từ bỏ fluxion mà thay vào đó là một lý thuyết về tỉ số gần giống với định nghĩa hiện đại của giới hạn. Gottfried Wilhelm Leibniz xây dựng một infinitesimal và cố gắng làm nó chặt chẽ, nhưng vẫn bị một số nhà toán học và triết học nghi ngờ.

Augustin-Louis Cauchy đưa ra định nghĩa của giới hạn bằng một khái niệm đơn giản hơn mà ông gọi là một "đại lượng biến thiên". Ông chưa bao giờ đưa ra định nghĩa epsilon–delta cho giới hạn (Grabiner 1981), tuy nhiên một số chứng minh của ông chứa dấu hiệu của phương pháp này. Liệu cách tiếp cận của ông có thể coi là tiền đề cho Weierstrass là một vấn đề được tranh cãi; Grabiner cho là có, trong khi Schubring (2005) thì nghĩ là không. Đại lượng vô cùng bé trở nên không cần thiết và thay vào đó là giới hạn:

: $\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

Tuy nhiên định nghĩa này không hẳn là không có vấn đề, dù nó loại bỏ đại lượng vô cùng bé, nhưng lại cần việc xây dựng số thực của bởi Richard Dedekind. Đại lượng vô cùng bé cũng không hẳn bị lãng quên, chúng vẫn có chỗ đứng trong toán học nhờ vào sự hình thành của các tập số siêu thực (hyperreal number) hay số kỳ quái (surreal number). Hơn nữa, ta có thể xây dựng giải tích một cách chặt chẽ bằng những đại lượng này và chúng được dùng trong những tình huống khác.

Phát biểu không chính thức

Một định nghĩa không chính quy (tức là, theo trực cảm hay tạm thời) là một "hàm số tiếp cận giới hạn gần (bằng ký hiệu, $\lim_{x \to a}f(x) = L \,$ ) nếu ta có thể làm gần tùy ý bằng cách cho đủ gần, nhưng không bằng, ."

Khi ta nói hai đại lượng gần nhau (như là và hay hay ) ý chỉ hiệu (hay khoảng cách) giữa chúng là nhỏ. Trong trường hợp , , , và là các số thực, hiệu hay khoảng cách giữa hai số là giá trị tuyệt đối của hiệu hai số đó. Do đó, khi ta nói gần với nghĩa là nhỏ. Tương tự, khi ta nói gần , nghĩa là nhỏ.

Khi ta nói có thể làm gần tùy ý, nghĩa là với mọi khoảng cách lớn hơn 0, ta có thể làm khoảng cách giữa và nhỏ hơn Định nghĩa tổng quát là:

: Giả sử được định nghĩa trên tập con của không gian mêtric với mêtric là và đi vào không gian mêtric với mêtric . Gọi là một điểm giới hạn của và là một điểm trong . Khi đó ta nói :: $\lim_{x\to c}f(x) = L$ :nếu với mọi , tồn tại một số sao cho với mọi , nếu thì

Cụ thể, mêtric của tập số thực là , do đó định nghĩa trên là trường hợp tổng quát cho định nghĩa đầu tiên với hàm số thực.

Phát biểu phủ định

Phủ định của định nghĩa trên cho không gian mêtric là như sau:

: Giả sử được định nghĩa trên tập con của không gian mêtric với mêtric là và đi vào không gian mêtric với mêtric . Gọi là một điểm giới hạn của và là một điểm trong . Khi đó ta nói :: $\lim_{x\to c}f(x) \neq L$ : nếu tồn tại một sao cho với mọi thì tồn tại một sao cho và

Ta nói $\lim$ {x\to c}f(x) không tồn tại nếu với mọi $L\in Y$ , $\lim$ {x\to c}f(x) \neq L .

Trong trường hợp số thực, ta chỉ cần thay $d_X(x,y) = d_Y(x,y)= |x-y|$ .

Phát biểu cho giới hạn ở vô cùng

Phát biểu chính xác trong trường hợp giới hạn ở vô cùng như sau:

Vậy ta có . Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có

: $|x+a| = |x-a + 2a| \leq |x-a| + |2a|.$

Suy ra

: $|x+a| < 1 + 2|a|.$

Do đó, nếu ta giả sử thêm : $|x-a| < \frac{\varepsilon}{2|a| +1}$

thì

: $|x^2-a^2| <\varepsilon.$

Tóm lại, ta chỉ cần đặt : $\delta = \min{\left(1,\frac{\varepsilon}{2|a| +1}\right)}.$

Khi ấy, nếu thì

: $\begin{align}
|x^2-a^2| = |x-a||x+a| &< \frac{\varepsilon}{2|a| +1}|x+a|\
&< \frac{\varepsilon}{2|a| +1}\left(2|a|+1\right)\
&=\varepsilon.
\end{align}$

Như vậy, ta đã tìm được một số sao cho nếu thì . Từ đó, ta suy ra : $\lim_{x\to a} x^2 = a^2$ với mọi số thực

Ví dụ 3

Ta sẽ chứng minh tính chất sau của giới hạn

: $\lim$ {x \to a} f(x) + g(x) = \lim{x \to a} f(x) + \lim{x \to a} g(x), với điều kiện các giới hạn ở vế phải tồn tại. Đặt $\lim$ {x \to a} f(x) = F và $\lim_{x \to a} g(x) = G.$

Cố định số . Ta cần tìm số sao cho nếu thì

Từ định nghĩa của giới hạn, ta suy ra tồn tại các số và sao cho : $\begin{align}
|x-a| < \delta_1 \Rightarrow |f(x)-F| < \frac{1}{2}\varepsilon \
|x-a| < \delta_2 \Rightarrow |g(x)-G| < \frac{1}{2}\varepsilon
\end{align}$

Ta có thể chọn . Khi ấy, nếu thì cả hai bất đẳng thức trên đều đúng. Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có : $\begin{align}
|f(x)+g(x)-F-G| &\leq |f(x)-F| + |g(x)-G|\
&\leq \frac{1}{2}\varepsilon + \frac{1}{2}\varepsilon\
&= \varepsilon.
\end{align}$

Như vậy đã chọn thỏa yêu cầu của giới hạn, ta có điều phải chứng minh.

👁️ 1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Định nghĩa (ε, δ) của giới hạn

thumb|right|Khi điểm nằm trong một khoảng so với , nằm trong một khoảng so với Trong giải tích, **định nghĩa

(\epsilon,\delta)

của giới hạn** (định nghĩa giới hạn bằng ký tự epsilon–delta) là một phát

💫 Giới hạn của hàm số

thumb|220x124px | right | Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a

Mặc dù hàm số không được định nghĩa tại , khi tiến

💫 Hội tụ (không gian tôpô)

Khái niệm hội tụ trong toán học có thể được sử dụng trong các không gian Euclid (chẳng hạn xem định nghĩa (_ε_, _δ_) của giới hạn), các không gian metric, ví dụ như

💫 Logic toán

**Logic toán** là một ngành con của toán học có liên hệ gần gũi với cơ sở toán học, khoa học máy tính lý thuyết, logic triết học. Ngành này bao gồm hai phần: nghiên

💫 Giới hạn (toán học)

thumb|220x124px | right|Giới hạn của hàm số :''Đây là bài viết nói chung về khái niệm giới hạn trong Toán học. Với các ứng dụng cụ thể, hãy xem các trang giới hạn dãy số

💫 Định lý kẹp

Trong Giải tích, **Định lý kẹp** là một định lý liên quan đến giới hạn của hàm số. Định lý kẹp là một công cụ mang tính kĩ thuật thường dùng trong các phép chứng

💫 Quy tắc l'Hôpital

Trong giải tích, **Quy tắc l'Hôpital **(cách viết khác l'Hospital, , phát âm như _Lô-pi-tan_), cũng được gọi là **quy tắc Bernoulli**, là quy tắc sử dụng đạo hàm để tính toán các giới hạn

💫 Karl Weierstrass

**Karl Theodor Wilhelm Weierstrass** (**Weierstraß**) (31 tháng 10 năm 1815 – 19 tháng 2 năm 1897) là một nhà toán học người Đức, người được coi là "cha đẻ của giải tích toán học". ##

💫 Sắt

**Sắt** (tiếng Anh: _Iron_) là một nguyên tố hóa học trong bảng tuần hoàn nguyên tố có ký hiệu **Fe** (từ tiếng Latinh _ferrum_), số nguyên tử bằng 26, phân nhóm VIIIB, chu kỳ 4.

💫 Plutoni

**Plutoni** là một nguyên tố hóa học hiếm, có tính phóng xạ cao với ký hiệu hóa học **Pu** và số nguyên tử 94. Nó là một kim loại thuộc nhóm actini với bề ngoài

💫 Siêu hình học (Aristotle)

**_Siêu hình học_** (tiếng Hy Lạp: μετὰ ικά; Latin: _Metaphysica_ , lit: "vươn ra ngoài vật lý") là một trong những tác phẩm chủ yếu của Aristotle và là tác phẩm lớn đầu tiên của

💫 Pi

Số **pi** (ký hiệu: ****), còn gọi là **hằng số Archimedes**, là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường

💫 Lý thuyết ứng đáp câu hỏi

**Lý thuyết Ứng đáp Câu hỏi** (Item Response Theory - IRT) là một lý thuyết của khoa học về đo lường trong giáo dục, ra đời từ nửa sau của thế kỷ 20 và phát

💫 Kháng thể

**Kháng thể** (**Antibody, Ab**), còn được gọi là **immunoglobulin** (**Ig**), là một protein lớn, hình chữ Y được hệ thống miễn dịch sử dụng để xác định và vô hiệu hóa các vật thể lạ

💫 Góc

Trong hình học Euclid, **góc** là những gì nằm giữa hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Hai đường thẳng được gọi là _cạnh_ của góc. Giao điểm của chúng gọi là _đỉnh_ của

💫 Lysin

**Lysine** (viết tắt là **Lys** hoặc **K**) là một α-amino acid với công thức hóa học HOOCCH(NH₂)(CH₂)₄NH₂. Nó là một amino acid thiết yếu, nghĩa là cơ thể không thể tự tổng hợp được. Codon

💫 Lạp Hộ

**_Lạp Hộ_** (獵戸), nguyên tên gốc là **Orion** (nhân vật giỏi săn bắn trong thần thoại Hy Lạp), được dịch sang tiếng Hán thành _Lạp Hộ_, nghĩa là _Thợ Săn_, là một chòm sao nổi

💫 Song Tử (chòm sao)

**Song Tử** (双子) (tiếng Latinh: Gemini, biểu tượng: ♊︎) là một trong những chòm sao của Đai Hoàng Đạo và nằm ở bán cầu bắc. Nó là một trong 48 chòm sao được mô tả