Trong lý thuyết vành giao hoán, một nhánh của toán học, gốc của một i-đê-an $I$ (hay cũng gọi là ra-đi-can của $I$, cũng viết là radical) là một i-đê-an sao cho một phần tử $x$ là một phần tử trong gốc và chỉ khi một lũy thừa của $x$ nằm trong $I$. Một i-đê-an gốc (hay i-đê-an bán nguyên tố) là một i-đê-an có gốc bằng với chính nó. Gốc của một i-đê-an sơ cấp là một i-đê-an nguyên tố.

Khái niệm này được khái quát cho các vành không giao hoán trong bài viết về vành bán nguyên tố.

Định nghĩa

Gốc của một i-đê-an $I$ trong một vành giao hoán $R$, ký hiệu $\backslash operatorname\{rad\}(I)$ hoặc là $\backslash sqrt\{I\}$, được định nghĩa là

: $\backslash sqrt\{I\}=\{r\backslash in\; R\; \backslash mid\; \backslash exist\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}^\{+\}:\; r^n\backslash in\; I\}$

Ví dụ

• Xét vành $\backslash mathbb\{Z\}$ các số nguyên.

Gốc của $4\backslash mathbb\{Z\}$ là $2\backslash mathbb\{Z\}$.

Gốc của $5\backslash mathbb\{Z\}$ là $5\backslash mathbb\{Z\}$.

Gốc của $12\backslash mathbb\{Z\}$ là $6\backslash mathbb\{Z\}$.

Gốc của $m\backslash mathbb\{Z\}$ là $r\backslash mathbb\{Z\}$ với $r$ là tích các ước số nguyên tố phân biệt của $m$.

• Xét i-đê-an $I=(y^4)\backslash sub\backslash Complex[x,y].$ Ta có $\backslash sqrt\{I\}=(y)$.

Tính chất

Xét một vành giao hoán $R$:

• Ta có $\backslash sqrt\{\backslash sqrt\{I\; =\; \backslash sqrt\{I\}$.
• $\backslash sqrt\{I\}$ là giao của các i-đê-an nguyên tố chứa $I$

  $\backslash sqrt\{I\}=\backslash bigcap\_\{\backslash scriptscriptstyle\backslash begin\{array\}\{c\}\backslash mathfrak\{p\}\backslash text\{\; nguyên\; tố\}\backslash \backslash \; R\backslash supsetneq\backslash mathfrak\{p\}\backslash supseteq\; I\backslash end\{array\backslash mathfrak\{p\}$

• Một i-đê-an $I$ của một vành $R$ là một i-đê-an gốc khi và chỉ khi vành thương $R/I$ là một vành giảm.