Trong lý thuyết vành, một nhánh của đại số trừu tượng, i-đê-an là một khái niệm tổng quá hóa khái niệm bội số.

Định nghĩa

Đối với một vành tùy ý $(R,+,\backslash cdot)$, ký hiệu cho $(R,+)$ là nhóm cộng nền của nó. Một tập hợp con $I$ được gọi là i-đê-an trái nếu:

$(I,+)$ là một nhóm con của $(R,+),$

Với mọi $r\; \backslash in\; R$ và $x\; \backslash in\; I$, tích $r\; x$ thuộc $I$.

Tương tự, ta có thể định nghĩa i-đê-an phải và i-đê-an hai phía.

Một i-đê-an (không có giải thích thêm) thông thường được ngầm hiểu là một i-đê-an trái hoặc một i-đê-an hai phía, tùy ngữ cảnh.

Ví dụ

• Trong vành R, chính tập hợp R tạo thành một i-đê-an hai phía. Nó là i-đê-an chính $(1)$, được gọi là i-đê-an đơn vị.
• Một i-đê-an khác đơn vị được gọi là một i-đê-an đích thực (giống như là tập con đích thực).
• Các số chẵn tạo thành một i-đê-an của vành các số nguyên $\backslash mathbb\{Z\}$; nó thường được ký hiệu là $2\backslash mathbb\{Z\}$. Tương tự, i-đê-an các bội số của một số nguyên $n$ được ký hiệu là $n\backslash mathbb\{Z\}$.
• Tập hợp tất cả các đa thức chia hết cho x² + 1 là một i-đê-an chính của vành đa thức.
• Tập hợp các ma trận $n\backslash times\; n$ với hàng dưới cùng bằng $0$ là một i-đê-an phải của vành ma trận. Nó không phải là một i-đê-an trái.
• Vành $C(\backslash mathbb\{R\})$ các hàm liên tục f từ $\backslash mathbb\{R\}$ vào $\backslash mathbb\{R\}$ chứa i-đê-an các hàm số f sao cho f(1) = 0 (i-đê-an các hàm số triệt tiêu tại 1; đây là một i-đê-an tối đại).

Tính chất

Ta có một loạt các loại i-đê-an như sau.

• I-đê-an tối đại: Một i-đê-an đích thực I được gọi là i-đê-an tối đại nếu nó không có i-đê-an đích thực nào chứa nó. Tức là, tồn tại một và chỉ một i-đê-an chứa I: i-đê-an đơn vị. Nó là một phần tử tối đại trong lớp các i-đê-an đích thực (với thứ tự cảm sinh bởi quan hệ bao hàm). Lớp này khác rỗng bởi luôn tồn tại một i-đê-an đích thực: i-đê-an $(0)$. Theo bổ đề Zorn, tồn tại ít nhất một i-đê-an tối đại trong một vành (ta xây dựng chặn trên bằng phép hợp).
• I-đê-an tối tiểu: Một i-đê-an là tối tiểu nếu nó khác i-đê-an $(0)$ và nó chỉ chứa duy nhất i-đê-an $(0)$ (và chính nó).
• I-đê-an nguyên tố.
• I-đê-an gốc hoặc i-đê-an bán nguyên tố.
• I-đê-an sơ cấp.
• I-đê-an chính
• I-đê-an hữu hạn sinh.
• I-đê-an nguyên thủy.
• I-đê-an bất khả quy.
• I-đê-an chính quy.
• I-đê-an lũy linh đơn: một i-đê-an là lũy linh đơn nếu mỗi phần tử của nó là lũy linh.
• I-đê-an lũy linh: một i-đê-an là lũy linh nếu một lũy thừa hữu hạn của nó bằng 0.

Một i-đê-an của một vành $R$ được trang bị một cấu trúc $R$-mô-đun tự nhiên.

Phép toán i-đê-an

Tổng và tích của các i-đê-an được định nghĩa như sau

: $\backslash mathfrak\{a\}+\backslash mathfrak\{b\}:=\{a+b\; \backslash mid\; a\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{a\}\; \backslash mbox\{\; và\; \}\; b\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{b\}\}$, :$\backslash mathfrak\{a\}\; \backslash mathfrak\{b\}:=\{a\_1b\_1+\; \backslash dots\; +\; a\_nb\_n\; \backslash mid\; a\_i\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{a\}\; \backslash text\{\; và\; \}\; b\_i\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{b\},\; i=1,\; 2,\; \backslash dots,\; n;\; \backslash text\{\; với\; \}\; n=1,\; 2,\; \backslash dots\},$

Ví dụ

Trong $\backslash mathbb\{Z\}$ ta có

: $(n)\backslash cap(m)\; =\; \backslash operatorname\{bcnn\}(n,m)\backslash mathbb\{Z\}$

Đặt $R\; =\; \backslash mathbb\{C\}[x,y,z,w]$ và $I\; =\; (z,\; w),\backslash text\{\; \}J\; =\; (x+z,y+w),\backslash text\{\; \}K\; =\; (x+z,\; w)$. Thế thì,

• $I\; +\; J\; =\; (z,w,\; x+z,\; y+w)\; =\; (x,\; y,\; z,\; w)$ và $I\; +\; K\; =\; (z,\; w,\; x\; +\; z)$
• $IJ\; =\; (z(x\; +\; z),\; z(y\; +\; w),\; w(x\; +\; z),\; w(y\; +\; w))=\; (z^2\; +\; xz,\; zy\; +\; wz,\; wx\; +\; wz,\; wy\; +\; w^2)$
• $IK\; =\; (xz\; +\; z^2,\; zw,\; xw\; +\; zw,\; w^2)$
• $I\; \backslash cap\; J\; =\; IJ$ trong khi $I\; \backslash cap\; K\; =\; (w,\; xz\; +\; z^2)\; \backslash neq\; IK$