✨Chu kỳ Rabi

Trong vật lý, chu trình Rabi (hoặc Rabi flop) là sự tuần hoàn của một hệ lượng tử hai trạng thái trong sự hiện diện của một trường dao động. Một loạt các quá trình vật lý thuộc các lĩnh vực tính toán lượng tử, vật chất cô đặc, vật lý nguyên tử và phân tử và vật lý hạt nhân và hạt có thể được nghiên cứu thuận tiện thông qua các hệ thống cơ học lượng tử hai trạng thái, và thể hiện chu kỳ Rabi khi nằm trong một trường dao dộng. Hiệu ứng này là quan trọng trong quang học lượng tử, cộng hưởng từ và tính toán lượng tử, và được đặt tên theo Isidor Isaac Rabi , một nhà vật lý người Mỹ.

Một hệ thống có hai mức năng lượng khác nhau có thể trở nên "kích thích" khi nó hấp thụ một lượng tử năng lượng. Khi một nguyên tử (hoặc một số hệ thống hai trạng thái khác) được chiếu sáng bởi một chùm các photon, nó sẽ hấp thụ photon theo chu kỳ và tái phát ra chúng bằng phát xạ kích thích. Một chu kỳ như vậy được gọi là một chu kỳ Rabi và nghịch đảo thời gian của nó là tần số Rabi. Hiệu ứng có thể được mô hình hóa bằng cách sử dụng mô hình Jaynes-Cummings và vector hình thức Bloch.

Mô tả bằng toán học

Một mô tả toán học chi tiết của các hiệu ứng có thể được tìm thấy trên trang Rabi Problem. Ví dụ, đối với một nguyên tử hai trạng thái (một nguyên tử trong đó, điện tử, hoặc có thể ở trạng thái ban đầu hoặc kích thích) trong một trường điện từ có tần số điều chỉnh để năng lượng kích thích, xác suất tìm thấy các nguyên tử ở trạng thái kích thích được tìm thấy từ phương trình Bloch:

với $\backslash omega$ là tần số Rabi.

Tổng quát hơn, người ta có thể xem xét một hệ thống mà hai cấp được coi như không có trạng thái riêng năng lượng riêng. Do đó, nếu hệ thống được khởi tạo trong một trong các cấp này, thời gian tiến hóa sẽ làm cho số phần tử của từng mức độ dao động với một số đặc tính tần số, có tần số góc [1] còn được gọi là tần số Rabi. Các trạng thái của một hệ lượng tử hai cấp có thể được biểu diễn như là vectơ hai chiều phức hợp không gian Hilbert, có nghĩa là mỗi vectơ trạng thái $\backslash vert\backslash psi\backslash rangle$ được biểu diễn bởi hai tọa độ phức tạp.

Nếu vectơ đã được chuẩn hóa, $c\_1$ và $c\_2$ liên hệ với nhau qua phương trình $^2+^2\; =\; 1$. Vectơ cơ sở được biểu diễn như sau $|1\backslash rangle\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \; 0\backslash end\{pmatrix\}$ and $|2\backslash rangle\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\; \backslash \; 1\backslash end\{pmatrix\}$

Tất cả các đại lượng vật lý có thể quan sát kết hợp với hệ thống này là ma trận Hermitian 2 x 2, có nghĩa là Hamiltonian của hệ thống cũng là một ma trận tương tự.

Chuẩn bị thí nghiệm dao động trong một hệ lượng tử

Người ta có thể xây dựng một thí nghiệm dao động bao gồm các bước sau đây: [1]

(1) Chuẩn bị hệ thống trong một trạng thái cố định$|1\backslash rangle$

(2) Hãy để nhà nước phát triển một cách tự do, theo một Hamilton H cho thời gian t

(3) Tìm xác suất P (t), mà trạng thái là $|1\backslash rangle$

Nếu $|1\backslash rangle$ là một trạng thái riêng của H, P (t) = 1 và không có dao động. Ngoài ra nếu hai quốc gia đang thoái hóa, mỗi trạng thái chứa $|1\backslash rangle$ là một trạng thái riêng của H. Kết quả là, không có dao động. Vì vậy, nếu H không có trạng thái thoái hóa riêng, không phải trong đó là $|1\backslash rangle$, sau đó sẽ có dao động. Hình thức tổng quát nhất của Hamiltonian của hệ hai trạng thái thể hiện sau đây

Ma trận $\backslash sigma\_0$ là 2 $\backslash times$ 2 và các ma trận $\backslash sigma\_k\; (k\; =\; 1,2,3)$ là Ma trận Pauli. phân tích này đơn giản hóa việc phân tích các hệ thống đặc biệt là trong trường hợp thời gian độc lập, nơi các giá trị của $a\_0,a\_1,a\_2$ và $a\_3$ là hằng số. Xét trường hợp của một spin-1/2 hạt trong một từ trường $\backslash mathbf\{B\}\; =\; B\backslash mathbf\{\backslash hat\; z\}$. Các Hamiltonian tương tác cho hệ thống này là

với $\backslash mu$ là độ lớn của hạt nhân magnetic moment,$\backslash gamma$ là tỉ lệ Gyromagnetic và $\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}$ là vectơ Pauli matrices. Ở đây các trạng thái riêng của Hamiltonian là trạng thái riêng của $\backslash sigma\_3$ đó là $|1\backslash rangle$ và $|2\backslash rangle$. Xác suất để hệ có trạng thái $|\backslash psi\backslash rang$ sẽ được tìm thấy ở trong trạng thái tùy ý $|\backslash phi\backslash rangle$ được cho bởi $^2$. Hệ thống ban đầu với $t=0$ ở trạng thái $|+X\backslash rangle$ đó là trạng thái riêng của $\backslash sigma$1 , $|\backslash psi(0)\backslash rang=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}$. Đó là $|\backslash psi(0)\backslash rang=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \; 0\backslash end\{pmatrix\}+\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$. Ở đây, Hamiltonian là độc lập về thời gian. Vì vậy, bằng cách giải quyết phường trình thời gian độc lập Schrödinger, ta nhận được trạng thái sau thời gian t là $|\backslash psi(t)\backslash rang=e^\{\backslash frac\{-iEt\}\{\backslash hbar|\backslash psi(0)\backslash rang$, với E tổng năng lượng của hệ. Do đó trạng thái sau thời gian t là $|\backslash psi(t)\backslash rang=e^\{\backslash frac\{-iE$+t}{\hbar\frac{1}{\sqrt{2|1\rangle + e^{\frac{-iE-t}{\hbar\frac{1}{\sqrt{2|2\rangle . Giả sử phép quay theo hướng x tại thời điểm t, xác suất tìm thấy spin-up là$^2=^2=\; \{\backslash cos\}^2(\backslash frac\{\backslash omega\; t\}\{2\})$ với $\backslash omega$ là một đặc tính của tần số góc đựuoc cho bởi$\backslash omega\; =\; \backslash frac\{E$- - E+}{\hbar}=\gamma B khi ta giả sử $E$- \geq E+ . Vì vậy, trong trường hợp này xác suất tìm thấy quay lên trạng thái theo hướng X là dao động trong thời gian t khi hệ thống ban đầu theo hướng +X. Tương tự như vậy nếu chúng ta đo phép quay theo hướng z xác suất phát hiện $\backslash frac\{\backslash hbar\}\{2\}$ của hệ$\backslash frac\{1\}\{2\}$.Trong trường hợp này $E$+ = E_- , đó là khi Hamilton là thoái hóa không có dao động. Do đó ta có thể kết luận rằng nếu trạng thái riêng của ma trận Hamiltonian nêu trên biểu diễn trạng thái của một hệ, thì xác suất của hệ trở thành trạng thái đó không dao động, nhưng nếu chúng ta tìm thấy xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái khác, nó là dao động. Điều này đúng với ma trận phụ thuộc thời gian Hamiltonian. Ví dụ $H\; =-\backslash gamma\backslash \; S\_z\; B\; sin(\backslash omega\; t)$, xác suất mà một phép đo của hệ theo hướng Y tại thời gian t là $\backslash frac\{+\backslash hbar\}\{2\}$ is $^2=\{\backslash cos\}^2(\backslash frac\{\backslash gamma\; B\}\{2\backslash omega\}\backslash cos\backslash omega\; t)$, với trạng thái khởi tạo $|+Y\backslash rangle$.

Đạo hàm của công thức Rabi theo phương pháp bất định bằng ma trận Pauli

Cho một ma trận Hamiltonian .

Trị riêng của ma trận là $\backslash lambda$+ =E+=E0+ \sqrt-e^{\frac{-\imath E- t}{\hbar).

Tại đây xác suất để hệ có trạng thái $|\backslash psi(t)\backslash rang$ sẽ được tìm thấy như một trạng thái tùy ý $|2\backslash rang$ được cho bởi $P\_1\backslash to$2(t)=^2=e^{+\imath\phi}\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)(e^{\frac{+\imath E+ t}{\hbar-e^{\frac{+\imath Et}{\hbar)e^{-\imath\phi}\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)(e^{\frac{-\imath E+ t}{\hbar-e^{\frac{i\imath Et}{\hbar)=\frac{\sin^2\theta}{4}(2-2\cos(\frac{(E+-E_-)t}{\hbar}))

Rút gọn $P\_1\backslash to$2(t)=\sin^2(\theta)\sin^2(\frac{(E+-E_-)t}{2\hbar})=\frac