✨Trường phân rã

Trong đại số trừu tượng, trường phân rã của một đa thức với các hệ số trong một trường là mở rộng trường nhỏ nhất của trường đó trong đó đa thức phân tách thành nhân tử.

Định nghĩa

Trường phân rã của đa thức p(X) trên trường K là mở rộng trường L của K sao cho

: $p(X)\; =\; c\backslash prod\_\{i=1\}^\{\backslash deg(p)\}\; (X\; -\; a\_i)$

với $c\backslash in\; K$ (vì nó là hệ số dẫn đầu của $p(X)$) và với mọi $i$ ta có $(X\; -\; a\_i)\; \backslash in\; L[X]$.

Ví dụ

• Trường phân rã của $X^2+1\backslash in\backslash mathbb\{Q\}[X]$ là $\backslash mathbb\{Q\}[X]/(X^2+1)\backslash simeq\backslash mathbb\{Q\}[i]$, cũng là trường các số hữu tỷ Gauss. Đây cũng là trường vỡ.
• Trường phân rã của $X^2+X+1\backslash in\backslash mathbb\{Q\}[X]$ là $\backslash mathbb\{Q\}(j)$ với $j=\backslash exp(\backslash frac\{2i\backslash pi\}\{3\})$. Đây cũng là trường vỡ.
• Trường phân rã của $X^3-2\backslash in\backslash mathbb\{Q\}[X]$ là $\backslash mathbb\{Q\}[\backslash sqrt[3]\{2\},j]$. Nó chứa ba trường vỡ của $X^3-2$: $\backslash mathbb\{Q\}[\backslash sqrt[3]\{2\}],\backslash mathbb\{Q\}[j\backslash sqrt[3]\{2\}]$ và $\backslash mathbb\{Q\}[j^2\backslash sqrt[3]\{2\}]$. Cả ba trường vỡ đều đẳng cấu với $\backslash mathbb\{Q\}[X]/(X^3-2)$.