✨Độc lập tuyến tính

phải|nhỏ|Các vectơ độc lập tuyến tính trong $\backslash R^3.$ phải|nhỏ|Các vectơ phụ thuộc tuyến tính trên một mặt phẳng trong $\backslash R^3.$ Trong đại số tuyến tính, độc lập tuyến tính là một tính chất thể hiện mối liên hệ giữa các vectơ.

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

• Một hệ các vectơ {v₁,...,v_n} trong không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến tính,

nếu tồn tại các số: k₁,..., k_n không đồng thời bằng 0 sao cho:

:k₁ v₁ +... + k_n v_n = 0.

*hệ các vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi phương trình vectơ:

:k₁ v₁ +... + k_n v_n = 0

chỉ có nghiệm duy nhất: k₁ = k₂ =... = k_n = 0

Tính chất

Cho V là không gian vectơ trên trường K:

Ý nghĩa hình học

Trong không gian các vectơ trên mặt phẳng, hệ gồm hai vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không cùng phương. Trong không gian các vectơ hình học 3 chiều, hệ ba vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

Ví dụ

• Hai vectơ (1,2,3,4) và (-3,-6,-9,5) là độc lập tuyến tính.
• (1,2) và (-2,-4) không độc lập tuyến tính vì tồn tại λ₁ = 1 và λ₂ = 2 thỏa mãn λ₁(-2,-4) + λ₂(1,2) = 0.

Độc lập tuyến tính trong không gian $\{\backslash mathbb\; R\}$ⁿ (hoặc $\{\backslash mathbb\; C\}$ⁿ)

• Trong không gian Rⁿ một hệ gồm nhiều hơn n vectơ {v₁,...,v_m} luôn là phụ thuộc tuyến tính.
• Nếu hệ các vectơ {v₁,...,v_m} là độc lập tuyến tính trong không gian Rⁿ, thì tập hợp tất cả các vectơ có dạng:

:k₁ v₁ +... + k_m v_m

:là một không gian con đẳng cấu với R^m.

• Một hệ n vectơ {v₁,...,v_n} là độc lập tuyến tính trong không gian Rⁿ, khi và chỉ khi ma trận lập thành từ các tọa độ của chúng có định thức khác không (det A ≠ 0).
• Một hệ n vectơ {v₁,...,v_n} là phụ thuộc tuyến tính trong không gian Rⁿ, khi và chỉ khi ma trận lập thành từ các tọa độ của chúng có định thức bằng không (det A = 0).