✨Bình phương

[[Hình:Five Squared.svg|thumb|, hay (5 mũ 2, 5 bình phương). Mỗi khối đại diện cho một đơn vị, , và toàn bộ hình vuông đại diện cho diện tích hình vuông đó, hay là .]] Bình phương hay mũ 2 là phép toán áp dụng cho mọi số thực hoặc số phức. Bình phương của một số là tích của số đó với chính bản thân nó 2 lần. Một cách tổng quát, bình phương chính là lũy thừa bậc 2 của một số, và phép toán ngược với nó là phép khai căn bậc 2.

Bảng bình phương

Tính chất

Bình phương của số thực luôn là số ≥0. Bình phương của một số nguyên gọi là số chính phương.

Tính chất của số chính phương

• Số chính phương chỉ có thể tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9. Số chính phương không thể tận cùng là: 2; 3; 7; 8.
• Một số chính phương có tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2. Một số chính phương có tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ. Chứng minh:** Số chính phương $a=b^2$ có tận cùng là 5 suy ra $b$ có tận cùng là $5$. Đặt $b=10x+5$. Ta có $(10x+5)^2=100x^2+100x+25=100(x^2+x)+25$, có hai chữ số tận cùng là 25, do đó chữ số hàng chục là 2. Số chính phương $a=b^2$ có tận cùng là 6 suy ra $b$ có tận cùng là 4 hoặc 6. Xét $$(10x+4)^2=100x^2+80x+16=6+10(10x^2+8x+1)=6+10[2(5x^2+4x)+1]$$ và $$(10x+6)^2=100x^2+120x+36=6+10(10x^2+12x+3)=6+10[2(5x^2+6x+1)+1]$$. Do đó chữ số hàng chục là số lẻ.
• Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố thì các thừa số chỉ chứa số mũ chẵn.
• Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ.
• N là số chính phương thì N chia hết cho một số nguyên tố khi và chỉ khi N chia hết cho bình phương của số nguyên tố đó (trừ trường hợp N=0; N=1).
• Tích của nhiều số chính phương là một số chính phương. ** Ví dụ: a² × b² × c² = (a × b × c)²

Ký hiệu

Số mũ ² bên phải của số được bình phương.

Ví dụ

• Số thực: :2² = 2 × 2 = 4 :15² = 15 × 15 = 225 :(- 0,5)² = 0,25

• Số phức: :$i^2=-1$ :$(3+2i)^2=5+12i$