✨Phân thớ tiếp tuyến

phải|nhỏ| Phân thớ tiếp tuyến giống như là toàn bộ các không gian tiếp tuyến được gắn lại với nhau một cách trơn tru và phân biệt. Trong hình học vi phân, phân thớ tiếp tuyến (hay phân thớ tiếp xúc) của một đa tạp khả vi $M$ là một đa tạp $TM$ bao gồm tất cả các véc-tơ tiếp tuyến của $M$. Như một tập hợp, nó là hợp rời của các không gian tiếp tuyến của $M$. Tức là,

: xM \ &= \bigcup{x \in M} \left{x\right} \times TxM \ &= \bigcup{x \in M} \left{(x, y) \mid y \in T_xM\right} \ &= \left{ (x, y) \mid x \in M,\, y \in T_xM \right} \end{align}

trong đó $T\_x\; M$ biểu thị không gian tiếp tuyến $M$ tại điểm $x$.

Vì vậy, một phần tử của $TM$ có thể được coi là một cặp $(x,v)$ với $x$ là một điểm của $M$ và $v$ là một véc tơ tiếp tuyến với $M$ tại $x$. Có một phép chiếu tự nhiên

: $\backslash pi:\; TM\; \backslash twoheadrightarrow\; M$

được định nghĩa bởi $\backslash pi(x,\; v)\; =\; x$. Phép chiếu này ánh xạ toàn bộ không gian tiếp tuyến $T\_xM$ đến điểm duy nhất $x$.

Vai trò

Một trong những vai trò chính của phân thớ tiếp tuyến là cung cấp miền và tập xác định cho đạo hàm của hàm trơn. Cụ thể, nếu $f:M\backslash rightarrow\; N$ là một hàm trơn, với $M$ và $N$ đa tạp trơn, đạo hàm của nó là một hàm trơn $Df:TM\backslash rightarrow\; TN$.

Cấu trúc tô-pô và cấu trúc trơn

Nếu M là một đa tạp n chiều, thì nó được trang bị một họ các hệ tọa độ $(U$\alpha,\phi\alpha).

Các tọa độ cục bộ trên U này tạo ra một đẳng cấu _$T$xM\rightarrow\mathbb R^n cho tất cả $x\backslash in\; U$. Ta định nghĩa

: $\backslash widetilde\backslash phi$\alpha\colon \pi^{-1}\left(U\alpha\right) \to \mathbb R^{2n}

bởi

: $\backslash widetilde\backslash phi\_\backslash alpha\backslash left(x,\; v^i\backslash partial$i\right) = \left(\phi\alpha(x), v^1, \cdots, v^n\right)

Ta sử dụng các bản đồ này để định nghĩa cấu trúc tô-pô và cấu trúc trơn của $TM$.

Đa tạp khả song

Một trường mục tiêu trên một đa tạp $n$ chiều là một họ $n$ trường véc-tơ $X\_1,\backslash dots,\; X\_n$ trên $M$ sao cho với mọi $p\backslash in\; M$, $X\_1(p),\backslash dots,\; X\_n(p)$ là một cơ sở của $T\_pM$. Một đa tạp được gọi là khả song nếu nó có ít nhất một trường mục tiêu.

Định lý - Một đa tạp là $M$ là khả song khi và chỉ khi tồn tại một đẳng cấu $M$-phân thớ $TM\backslash simeq\; M\backslash times\; \backslash mathbb\{R\}^n$.

Một tập mở tọa độ $U\backslash subset\; M$ luôn là khả song.

Ví dụ

Ví dụ đơn giản nhất là $\backslash mathbb\; R^n$. Trong trường hợp này, phân thớ tiếp tuyến là tầm thường: mỗi $T\_x\; \backslash mathbf\; \backslash mathbb\; R^n$ là đẳng cấu đối với $T\_0\; \backslash mathbb\; R^n$ qua ánh xạ $\backslash mathbb\; R^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R^n$ bằng phép trừ đi $x$, cho ta một vi phôi $T\backslash mathbb\; R^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R^n\; \backslash times\; \backslash mathbb\; R^n$.

Một ví dụ đơn giản khác là vòng tròn đơn vị, $S^1$ (xem hình trên). Phân thớ tiếp tuyến của vòng tròn cũng tầm thường và đẳng cấu với $S^1\backslash times\backslash mathbb\; R$. Về mặt hình học, đây là một hình trụ có chiều cao vô hạn.

Các phân thớ tiếp tuyến duy nhất có thể dễ dàng hình dung là các phân thớ tiếp tuyến của đường thẳng thực $\backslash mathbb\; R$ và vòng tròn đơn vị $S^1$, cả hai đều tầm thường. Đối với đa tạp 2 chiều, phân thớ tiếp tuyến là 4 chiều và do đó khó hình dung.

Một ví dụ đơn giản về phân thớ tiếp tuyến không tầm thường là hình cầu đơn vị $S^2$: phân thớ tiếp tuyến này là không tầm thường: đây là hệ quả của định lý bóng lông. Do đó, hình cầu là một đa tạp không khả song.