✨Lực hướng tâm

Ví dụ đơn giản về [[chuyển động tròn|chuyển động tròn đều. Một trái banh được buộc vào một trục quay và đang xoay ngược chiều kim đồng hồ trên một quỹ đạo xác định với vận tốc góc ω. Vận tốc của trái banh là một vector tiếp tuyến với quỹ đạo, và liên tục thay đổi phương, gây ra do lực luôn hướng về tâm. Lực hướng tâm do dây tạo ra, dưới dạng lực căng dây.]]

Lực hướng tâm là một loại lực cần để làm cho một vật đi theo một quỹ đạo cong. Isaac Newton đã mô tả lực này trong cuốn Principia của ông. Bất kỳ lực nào (trọng lực, lực điện từ, v.v.) hoặc sự kết hợp các lực với nhau đều có thể đóng vai trò là lực hướng tâm. Ta có thể thấy một ví dụ về chuyển động tròn đều trên hình bên phải.

Ví dụ đơn giản: chuyển động tròn đều

Vector vận tốc được định nghĩa là tốc độ của vật cùng với hướng chuyển động. Những vật có tổng lực tác động triệt tiêu sẽ không tăng tốc và do đó di chuyển theo một đường thẳng với tốc độ không đổi; chúng có vận tốc là một hằng số. Tuy nhiên, một vật di chuyển theo đường tròn, mặc dù di chuyển với tốc độ không đổi, vẫn có sự thay đổi hướng chuyển động. Độ thay đổi vector vận tốc của vật trong trường hợp này gọi là gia tốc hướng tâm.

Gia tốc hướng tâm khác nhau phụ thuộc vào bán kính cong của quỹ đạo (R) và tốc độ (v) của vật, gia tốc tăng nếu tốc độ tăng hoặc bán kính giảm. Nếu một vật đang di chuyển theo một đường tròn với tốc độ biến thiên, gia tốc của nó có thể được chia thành hai thành phần: gia tốc hướng tâm (gia tốc làm thay đổi hướng vận tốc) và gia tốc tiếp tuyến (gia tốc làm thay đổi độ lớn vận tốc).

Độ lớn của lực hướng tâm được cho theo công thức:

:$F\_\{ht\}=\backslash frac\{mv^2\}\{r\}=m\backslash omega^2\; r$

trong đó m là khối lượng, v là tốc độ dài, \omega là tốc độ góc và r là bán kính cong của quỹ đạo.

Nguồn gốc của lực hướng tâm

Đối với một vệ tinh bay trong quỹ đạo quanh trái đất, lực hướng tâm do lực trọng trường tạo thành giữa vệ tinh và trái đất, và tác dụng lực hướng về khối tâm của hai vật. Đối với một vật được gắn vào đầu một sợi dây đang quay theo trục đứng, lực hướng tâm là thành phần nằm ngang của lực căng dây, tác dụng hướng về tâm khối lượng giữa trục quay và vật quay. Đối với một vật đang xoay quanh chính nó, lực căng bên trong là lực hướng tâm giữ cho vật là một khối.

Phân tích một số trường hợp

Dưới đây là ba ví dụ có độ phức tạp tăng dần, sử dụng các công thức liên quan đến vận tốc và gia tốc.

Chuyển động tròn đều

Chuyển động tròn đều là trường hợp có độ quay cố định. Dưới đây là hai cách tiếp cận vấn đề.

Phương pháp hình học

Hình tròn bên trái: quỹ đạo của một chất điểm – chất điểm di chuyển trên một vòng tròn với vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo; Hình bên phải: "đường tròn vận tốc"; các vector vận tốc được dịch chuyển về chung một gốc: vì vận tốc là một hằng số trong chuyển động đều, đỉnh của vector vận tốc tạo thành một đường tròn, và gia tốc là [[tiếp tuyến|tiếp tuyến của đường tròn vận tốc. Điều đó có nghĩa là gia tốc là hướng tâm trong vòng tròn bên trái với hình quỹ đạo.]]

Ở hình bên phải, vòng tròn bên trái là hình một vật đang di chuyển trên một đường tròn với tốc độ không đổi tại hai thời điểm khác nhau trên quỹ đạo của nó. Vị trí của nó được chỉ bởi vector R và vận tốc là vector v.

Vector vận tốc luôn luôn vuông góc với vector vị trí (vì vector vận tốc luôn tiếp tuyến với quỹ đạo tròn). Vì R di chuyển theo đường tròn, do đó v cũng vậy. Chuyển động tròn của vận tốc được thể hiện trong đường tròn ở hình bên phải, cùng với gia tốc a. Cũng như vận tốc là mức độ thay đổi vị trí, gia tốc chính là mức độ thay đổi của vận tốc.

Vì vị trí và vận tốc di chuyển cùng nhau, chúng xoay quanh vòng tròn của chúng với cùng chu kỳ T. Khoảng thời gian đó bằng với khoảng cách đi được chia cho vận tốc.

:$T\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi|\backslash mathbf\{R\}|\}$

và, tương tự,

:$T\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\; |\backslash mathbf\{v\}|\}$

Cho hai phương trình này bằng nhau và giải để tìm |a|, ta có

:$|\backslash mathbf\{a\}|\; =\; \backslash frac$

Vận tốc xoay tính theo radian trên giây là: :$\backslash omega\; =\; \backslash frac\; \{2\; \backslash pi\}\; \{T\}\; \backslash$

So sánh hai vòng tròn trong hình bên, ta cũng thấy vận tốc hướng về tâm của vòng tròn R. Ví dụ, trong đường tròn bên trái, vector vị trí R chỉ vào vị trí 12 giờ có vector vận tốc v của nó hướng vị trí 9 giờ, còn ở hình bên phải, vector gia tốc a chỉ vào vị trí 6 giờ. Do đó vector gia tốc là ngược hướng với R và hướng về tâm của vòng tròn R.

Sử dụng vector

phải|293 px|nhỏ|Mối quan hệ vector đối với chuyển động tròn đều; vector Q đại diện cho chuyển động quay là vector pháp tuyến của mặt phẳng quỹ đạo có chiều được xác định bằng [[quy tắc bàn tay phải và độ lớn là dθ /dt.]] Hình bên cho thấy mối quan hệ vector trong chuyển động tròn đều. Bản thân sự quay được đại diện bằng vector Q, là vector pháp tuyến của mặt phẳng quỹ đạo (sử dụng quy tắc bàn tay phải) và có độ lớn xác định bằng công thức: :$$|\backslash mathbf\{\backslash Omega\}|\; =\; \backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash theta\; \}\; \{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; \backslash omega\; \backslash ,$$

với θ là tọa độ góc vào thời điểm t. Trong phần này, dθ/dt được giả thiết là không thay đổi, không phụ thuộc vào thời gian. Độ dịch chuyển ℓ trong khoảng thời gian vi phân dt trên quỹ đạo tròn là :$\backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{\backslash ell\}\; =\; \backslash mathbf\; \{\backslash Omega\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{r\}(t)\; \backslash mathrm\{d\}t\; \backslash ,$

trong đó, theo tính chất của tích có hướng của hai vector, có độ lớn bằng _r_dθ và có phương vuông góc với quỹ đạo.

Do đó, :$\backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{r\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; \backslash frac\; \{\backslash mathbf\{r\}(t\; +\; \backslash mathrm\{d\}t)-\backslash mathbf\{r\}(t)\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash boldsymbol\{\backslash ell\{\backslash mathrm\{d\}t\}$

Nói cách khác, :$\backslash mathbf\{v\}\backslash \; \backslash stackrel\{\backslash mathrm\{def\{\; =\; \}\backslash \; \backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{r\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; \backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{\backslash boldsymbol\{\backslash ell\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; \backslash mathbf\; \{\backslash Omega\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{r\}(t)$

Đạo hàm theo thời gian, :$\backslash mathbf\{a\}\backslash \; \backslash stackrel\{\backslash mathrm\{def\{\; =\; \}\backslash \; \backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{v\; \{d\backslash mathrm\{t\; =\; \backslash mathbf\; \{\backslash Omega\}\; \backslash times\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{r\}(t)\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; \backslash mathbf\{\backslash Omega\}\; \backslash times\; \backslash left[\; \backslash mathbf\; \{\backslash Omega\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{r\}(t)\backslash right]$

Công thức Lagrange cho biết: :$\backslash mathbf\{a\}\; \backslash times\; \backslash left\; (\backslash mathbf\{b\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{c\}\; \backslash right)\; =\; \backslash mathbf\{b\}\; \backslash times\; \backslash left\; (\backslash mathbf\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{c\}\; \backslash right)\; -\; \backslash mathbf\{c\}\; \backslash times\; \backslash left\; (\backslash mathbf\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{b\}\; \backslash right)$

Áp dụng công thức Lagrange, để ý rằng Ω • r(t) = 0 tại mọi thời điểm, ::$\backslash mathbf\{a\}\; =\; -\; \{R\}$

Khi tốc độ quay là hằng số như trong chuyển động tròn không đều, cách phân tích đó cũng khớp với cách này.

Cái hay của cách tiếp cận bằng vector là ở chỗ nó độc lập hiển nhiên với bất kỳ hệ tọa độ nào.

Ví dụ: Rẽ cua trên mặt phẳng nghiêng

Hình trái: Trái banh trên một đường cong nghiêng đang di chuyển với tốc độ không đổi v; hình phải: lực tác dụng lên banh. Lực tổng hợp lên trái banh được tìm bằng [[tổng vector phản lực do mặt đường tác dụng và lực thẳng đứng là trọng lực phải bằng lực hướng tâm cần thiết để vật di chuyển theo đường cong. ]]

Hình bên cho thấy một trái banh đang chuyển động trên một mặt phẳng cong nghiêng. Mặt cong nghiêng một góc θ so với mặt phẳng ngang, và bề mặt đường xem như là trơn. Mục tiêu của chúng ta là tìm xem góc nghiêng của mặt phẳng phải là bao nhiêu để tránh banh không trượt ra khỏi mặt đường. Trên đường cong nằm ngang không có độ nghiêng, trái banh sẽ lập tức trượt ra khỏi mặt đường; còn với mặt đường rất dốc, trái banh sẽ trượt về trung tâm trừ khi nó di chuyển rất nhanh.

Khung bên phải của hình cho thấy các lực tác dụng trên quả banh. Có hai lực: một là lực trọng trường hướng thẳng xuống dưới xuyên qua khối tâm của trái banh _m_g trong đó m là khối lượng quả banh và g là gia tốc trọng trường; lực thứ hai là phản lực hướng lên phía trên do mặt đường tác dụng vuông góc với mặt phẳng đường ma_n. Lực hướng tâm trên Hình bên là tổng hợp lực có được bằng cách cộng vector phản lực và trọng lực với nhau, và không phải là lực thứ ba tác dụng lên banh.

Tổng hợp lực nằm ngang tác dụng lên banh là thành phần nằm ngang của lực do mặt đường tác dụng, có độ lớn là |F_h| = m|a_n|sinθ. Thành phần thẳng đứng của lực từ mặt đường phải bù trừ với trọng lực, có nghĩa là |F_v| = m|a_n|cosθ = m|g|. Theo đó ta có thể tìm hợp lực là:

:$|\backslash mathbf\{F\}\_\backslash mathrm\{h\}|\; =\; m\; |\backslash mathbf\{g\}|\; \backslash frac\; \{\; \backslash sin\; \backslash theta\}\{\; \backslash cos\; \backslash theta\}\; =\; m|\backslash mathbf\{g\}|\; \backslash tan\; \backslash theta$

Mặt khác, với vận tốc |v| trên đường cong bán kính R, động lượng nói rằng lực cần thiết để khiến trái banh cua liên tục trên đường trong là lực hướng tâm F_c có độ lớn:

:$|\backslash mathbf\{F\}$\mathrm{c}| = m |\mathbf{a}\mathrm{c}| = \frac{m|\mathbf{v}|^2}{R}

Do đó, trái banh nằm trên một quỹ đạo ổn định khi góc nghiêng của mặt đường thỏa mãn điều kiện:

:$m\; |\backslash mathbf\{g\}|\; \backslash tan\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{m|\backslash mathbf\{v\}|^2\}\{R\}\; \backslash ,$

hoặc,

:$\backslash tan\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\; \{|\backslash mathbf\{v\}|^2\}\; \{|\backslash mathbf\{g\}|R\}$

Khi góc nghiêng θ đạt đến 90°, hàm tiến đến vô cùng, nghĩa là giá trị |v|²/R rất lớn. Nói một cách nôm na, phương trình này cho thấy tốc độ càng cao (|v| càng lớn) thì mặt đường càng phải dốc (giá trị θ lớn hơn), và đối với góc cua càng gấp (R nhỏ) mặt đường cũng phải càng dốc, như vậy là phù hợp với trực giác. Khi góc θ không thỏa mãn điều kiện trên, thành phần nằm ngang của lực do mặt đường tác dụng không tạo ra một lực hướng tâm đúng, và có thêm lực ma sát tiếp tuyến với mặt đường sẽ khử đi sự chênh lệch. Nếu ma sát không thể làm điều này (có nghĩa là hệ số ma sát thấp), trái banh sẽ trượt sang bán kính khác để đạt được sự cân bằng.

Những ý tưởng này cũng được áp dụng vào hàng không. Xem sổ tay hướng dẫn dành cho phi công FAA.

Trái: Ba giai đoạn chuyển động của yo-yo cho thấy chuyển động xoay, Phải: quỹ đạo tròn của yo-yo được lý tưởng hóa thành một hình ê-líp cực thon.

Ví dụ: con yo-yo

Một ví dụ thú vị khác liên quan đến lực hướng tâm là yo-yo. Khi sợi dây được thả ra, yo-yo xoay xuống về một bên của sợi dây. Khi sợi dây được buông ra hoàn toàn, yo-yo tiếp tục xoay trong khi thực hiện một cú xoay hình chữ U đúng 180 độ theo phương tịnh tiến của nó. Sau đó nó xoay lên lại về phía bên kia của sợi dây, trong khi đồng thời khiến cho sợi dây cuộn lại một lần nữa. Trong hình hành vi này được vẽ ở bên trái với ba điểm khác nhau trong quá trình chuyển động; mũi tên cho thấy hướng chuyển động sự quay. Thế năng của yo-yo tại điểm cao nhất của chuyển động sẽ biến thành động năng xoay khi nó rơi xuống, rồi sau đó lại chuyển thành thế năng trọng trường khi nó chạy lên.

Hình bên phải là quỹ đạo lý tưởng của khối tâm yo-yo tạo thành một hình ê-líp. Chuyển động trên quỹ đạo này đòi hỏi phải có lực hướng tâm, lực này đạt đến giá trị cực đại ở phía cuối quỹ đạo khi góc cong rất lớn. Mũi tên màu xanh cho thấy lực hướng tâm, nằm theo hướng thẳng đứng ở phía cuối quỹ đạo. Tại đó, sự đảo chiều trong chuyển động được tạo ra từ lực căng của sợi dây đã được bung ra hoàn toàn. Lực căng này tiếp tục theo phương từ điểm nối với sợi dây cho đến khối tâm của yo-yo, tạo thành lực hướng tâm khiến yo-yo xoay theo hình chữ U quanh đầu cuối sợi dây.

Chuyển động tròn không đều

Hình: Vận tốc và gia tốc trong chuyển động tròn không đều: vector vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo, nhưng vector gia tốc thì không hướng tâm vì nó có thành phần tiếp tuyến a_θ làm tăng tốc độ quay: _d_ω / dt = | a_θ| / R.

Để tổng quát hóa trường hợp chuyển động tròn không đều, giả sử vận tốc góc của chuyển động quay không phải là một hằng số. Lúc này gia tốc có một thành phần tiếp tuyến, như trên Hình bên. Trường hợp này được dùng để biểu diễn một chiến thuật suy diễn dựa trên hệ tọa độ cực.

Gọi r(t) là vector mô tả vị trí khối tâm theo thời gian. Vì chúng ta đang giả sử đây là chuyển động tròn, gọi r(t) = R·u_r, trong đó R là hằng số (bán kính của đường tròn) và u_r là vector đơn vị hương từ điểm chuyển động đến khối tâm. Vị trí của u_r được mô tả theo θ, góc tạo bởi trục x là vector đơn vị, đo theo hướng ngược chiều kim đồng hồ từ trục x. Vector đơn vị khác dành cho hệ tọa độ cực, u_θ vuông góc với u_r và những điểm theo hướng θ tăng dần. Những vector đơn vị cực này có thể được biểu diễn theo vector đơn vị Decartes theo phương x và y, ký hiệu lần lượt là i và j:

:u_r = cosθ i + sinθ j

và

:u_θ = sinθ i + cosθ j.

Chúng ta lấy đạo hàm để tìm vận tốc:

:$\backslash mathbf\{v\}\; =\; R\; \backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash mathbf\{u\}\_\backslash mathrm\{r\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; =\; R\; \backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; \backslash left(\backslash cos\; \backslash theta\; \backslash \; \backslash mathbf\{i\}\; +\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash \; \backslash mathbf\{j\}\backslash right)$ ::$=\; R\; \backslash frac\; \{d\; \backslash theta\}\; \{dt\}\; \backslash left(-\backslash sin\; \backslash theta\; \backslash \; \backslash mathbf\{i\}\; +\; \backslash cos\; \backslash theta\; \backslash \; \backslash mathbf\{j\}\backslash right)\backslash ,$

::$=\; R\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\backslash theta\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; \backslash mathbf\{u\}\_\backslash mathrm\{\backslash theta\}\; \backslash ,$

::$=\; \backslash omega\; R\; \backslash mathbf\{u\}\_\backslash mathrm\{\backslash theta\}\; \backslash ,$

trong đó ω là vận tốc góc dθ/dt.

Kết quả vận tốc này trùng khớp với kỳ vọng rằng vận tốc sẽ hướng tiếp tuyến với vòng tròn, và rằng độ lớn vận tốc sẽ là ωR. Đạo hàm một lần nữa, và để ý rằng

:$\{\backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{u\}$\mathrm{\theta{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \mathbf{u}\mathrm{r} = - \omega \mathbf{u}_\mathrm{r \,

chúng ta tìm được gia tốc, a là:

:$\backslash mathbf\{a\}\; =\; R\; \backslash left(\backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\backslash omega\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; \backslash mathbf\{u\}$\mathrm{\theta} - \omega^2 \mathbf{u}\mathrm{r} \right)

Do đó, thành phần hướng tâm và tiếp tuyến của gia tốc là:

:$\backslash mathbf\{a\}${\mathrm{r = - \omega^{2} R \ \mathbf{u}\mathrm{r} = - \frac{|\mathbf{v}|^{2{ R} \ \mathbf{u}\mathrm{r} \    and   $\backslash \; \backslash mathbf\{a\}${\mathrm{\theta = R \ \frac {\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} \ \mathbf{u}\mathrm{\theta} = \frac {\mathrm{d} | \mathbf{v} | }{\mathrm{d}t} \ \mathbf{u}\mathrm{\theta} \,

trong đó |v| = _R_ω là độ lớn vận tốc (tốc độ).

Các phương trình này cho thấy, trong trường hợp một vật di chuyển quanh một đường tròn với tốc độ thay đổi, gia tốc của vật có thể phân thành một thành phần trực giao làm thay đổi hướng chuyển động (gia tốc hướng tâm), và một thành phần song song, hay thành phần tiếp tuyến, làm thay đổi tốc độ.