✨Định lý Menelaus

thumb|right|Định lý Menelaus

Định lý Menelaus là một định lý nâng cao trong hình học tam giác, được phát biểu như sau: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi
:$\backslash frac\{\backslash overline\{FA\{\backslash overline\{FB\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash overline\{DB\{\backslash overline\{DC\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash overline\{EC\{\backslash overline\{EA\; =\; 1$

Chứng minh

*_Phần thuận_**: Giả sử D, E, F là 3 điểm thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.
Vì $CG\; \backslash parallel\; AB$ (c.dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có:
$\backslash frac\{DB\}\{DC\}\; =\; \backslash frac\{FB\}\{CG\}$ $(1)$và $\backslash frac\{EC\}\{EA\}\; =\; \backslash frac\{CG\}\{FA\}$ $(2)$

Nhân $(1)$ và $(2)$ và vế theo vế
$\backslash frac\{DB\}\{DC\}\backslash cdot\; \backslash frac\{EC\}\{EA\}\; =\; \backslash frac\{FB\}\{FA\}$
Từ đó suy ra
$\backslash frac\{FA\}\{FB\}\backslash cdot\; \backslash frac\{DB\}\{DC\}\backslash cdot\; \backslash frac\{EC\}\{EA\}=1$
***_Phần đảo_**: Giả sử $\backslash frac\{FA\}\{FB\}\backslash cdot\; \backslash frac\{DB\}\{DC\}\backslash cdot\; \backslash frac\{EC\}\{EA\}\; =\; 1$. Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.
Theo chứng minh ở trên, ta có $\backslash frac\{F\text{'}A\}\{F\text{'}B\}\backslash cdot\; \backslash frac\{DB\}\{DC\}\backslash cdot\; \backslash frac\{EC\}\{EA\}\; =\; 1$
Kết hợp giả thiết => $\backslash frac\{FA\}\{FB\}\; =\; \backslash frac\{F\text{'}A\}\{F\text{'}B\}$
Hay $\backslash frac\{FA\}\{F\text{'}A\}\; =\; \backslash frac\{FB\}\{F\text{'}B\}\; =\; \backslash frac\{FA\; +\; FB\}\{F\text{'}A\; +\; F\text{'}B\}\; =\; \backslash frac\{AB\}\{AB\}\; =\; 1$
Nên $F\text{'}A\; =\; FA$ và $F\text{'}B\; =\; FB$
=> $F\text{'}$ trùng với $F$.
Vậy định lý đã được chứng minh.