✨Bức tranh Heisenberg

Trong cơ học lượng tử, bức tranh Heisenberg hay hình ảnh Heisenberg là một công thức (do Werner Heisenberg) của cơ học lượng tử trong đó các toán tử (đại lượng quan sát được và loại khác) kết hợp một sự phụ thuộc vào thời gian.

Chứng minh phương trình của Heisenberg

Các giá trị kỳ vọng của 1 đại lượng quan sát A, mà là 1 toán tử tuyến tính Hermit cho 1 trạng thái $|\backslash psi(t)\backslash rang$, được cho bởi

:$\backslash lang\; A\; \backslash rang\; \_t\; =\; \backslash lang\; \backslash psi\; (t)\; |\; A\; |\; \backslash psi(t)\; \backslash rang.$

trong Bức tranh Schrödinger, phát biểu $|\backslash psi\backslash rang$ tại thời điểm t liên quan đến phát biểu $|\backslash psi\backslash rang$ thời điểm 0 : $|\backslash psi(t)\backslash rangle\; =\; U(t)\; |\backslash psi(0)\backslash rangle.$ nếu Hamiltonian không thay đổi theo thời gian, thì các toán tử thời gian vận động được viết bởi :$U(t)\; =\; e^\{-iHt\; /\; \backslash hbar\},$ nơi H là Hamiltonian và ħ là hằng số Planck thu gọn. Do đó,

:$\backslash lang\; A\; \backslash rang\; \_t\; =\; \backslash lang\; \backslash psi\; (0)\; |\; e^\{iHt\; /\; \backslash hbar\}\; A\; e^\{-iHt\; /\; \backslash hbar\}\; |\; \backslash psi(0)\; \backslash rang.$

xác định, sau đó, :$A(t):=\; e^\{iHt\; /\; \backslash hbar\}\; A\; e^\{-iHt\; /\; \backslash hbar\}.$

Nó xác định :$\{d\; \backslash over\; dt\}\; A(t)\; =\; \{i\; \backslash over\; \backslash hbar\}\; H\; e^\{iHt\; /\; \backslash hbar\}\; A\; e^\{-iHt\; /\; \backslash hbar\}\; +\; e^\{iHt\; /\; \backslash hbar\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; A\}\{\backslash partial\; t\}\backslash right)\; e^\{-iHt\; /\; \backslash hbar\}\; +\; \{i\; \backslash over\; \backslash hbar\}\; e^\{iHt\; /\; \backslash hbar\}\; A\; \backslash cdot\; (-H)\; e^\{-iHt\; /\; \backslash hbar\}$

:$=\; \{i\; \backslash over\; \backslash hbar\}\; e^\{iHt\; /\; \backslash hbar\}\; \backslash left(H\; A\; -\; A\; H\; \backslash right)\; e^\{-iHt\; /\; \backslash hbar\}\; +\; e^\{iHt\; /\; \backslash hbar\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; A\}\{\backslash partial\; t\}\backslash right)\; e^\{-iHt\; /\; \backslash hbar\}$

:$=\; \{i\; \backslash over\; \backslash hbar\; \}\; \backslash left(H\; A(t)\; -\; A(t)\; H\; \backslash right)\; +\; e^\{iHt\; /\; \backslash hbar\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; A\}\{\backslash partial\; t\}\backslash right)e^\{-iHt\; /\; \backslash hbar\}.$

sự khác biệt dựa theo quy tắc nhân, trong đó ∂A/∂t là đạo hàm thời gian ban đầu A, không phải A(t).

Do đó :$\{d\; \backslash over\; dt\}\; A(t)\; =\; \{i\; \backslash over\; \backslash hbar\; \}\; [H,\; A(t)]\; +\; e^\{iHt\; /\; \backslash hbar\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; A\}\{\backslash partial\; t\}\backslash right)e^\{-iHt\; /\; \backslash hbar\},$

phương trình được chứng minh A(t) xác định ở trên :$\{e^B\; A\; e^\{-B\; =\; A\; +\; [B,A]\; +\; \backslash frac\{1\}\{2!\}\; [B,[B,A]]\; +\; \backslash frac\{1\}\{3!\}[B,[B,[B,A]]]\; +\; \backslash cdots.$ hàm chứa :$A(t)\; =\; A\; +\; \backslash frac\{it\}\{\backslash hbar\}[H,A]\; -\; \backslash frac\{t^\{2\{2!\backslash hbar^\{2[H,[H,A]]\; -\; \backslash frac\{it^3\}\{3!\backslash hbar^3\}[H,[H,[H,A]]]\; +\; \backslash dots$

mối quan hệ này cũng được dùng cơ học cổ điển, theo giới hạn cổ điển ở trên :$[A,H]\; \backslash leftrightarrow\; i\backslash hbar\{A,H\}$ Trong cơ học cổ điển, của A không phụ thuộc vào thời gian, :$\{A,H\}\; =\; \{d\backslash over\; dt\}A~,$ biểu thức A(t) là khai triển Taylor tại t = 0.

Bảng so sánh