✨Xấp xỉ Stirling

phải|nhỏ| So sánh xấp xỉ của Stirling với giai thừa Trong toán học, xấp xỉ Stirling (hay công thức Stirling) là phép tính gần đúng cho giai thừa. Đó là một xấp xỉ tốt, dẫn đến kết quả chính xác ngay cả đối với các giá trị nhỏ của n. Nó được đặt theo tên của James Stirling, mặc dù lần đầu tiên nó được tuyên bố bởi Abraham de Moivre.

Phiên bản của công thức thường được sử dụng trong các ứng dụng là

: $\backslash ln\; n!\; =\; n\backslash ln\; n\; -\; n\; +O(\backslash ln\; n)$

(theo ký hiệu O lớn, như $n\backslash to\backslash infty$), hoặc, bằng cách thay đổi cơ sở của logarit (ví dụ trong trường hợp xấu nhất bị ràng buộc thấp hơn để sắp xếp so sánh),

: $\backslash log\_2\; n!\; =\; n\backslash log\_2\; n\; -\; n\backslash log\_2\; e\; +O(\backslash log\_2\; n).$

Chỉ định hằng số trong thời hạn lỗi cho , mang lại công thức chính xác hơn sau đây:

: $n!\; \backslash sim\; \backslash sqrt\{2\; \backslash pi\; n\}\backslash left(\backslash frac\{n\}\{e\}\backslash right)^n,$

nơi dấu ~ có nghĩa là hai đại lượng là tiệm cận : tỷ lệ của chúng có xu hướng tiến tới 1 khi có xu hướng đến vô cùng.

Người ta cũng có thể đưa ra các giới hạn đơn giản hợp lệ cho tất cả các số nguyên dương n, thay vì chỉ cho n đủ lớn:

: $\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\backslash \; n^\{n+\backslash frac12\}e^\{-n\}\; \backslash le\; n!\; \backslash le\; e\backslash \; n^\{n+\backslash frac12\}e^\{-n\}$