✨Toán tử compact

Trong giải tích hàm, một nhánh của toán học, một toán tử compact là một toán tử tuyến tính L từ một không gian Banach X đến một không gian Banach Y khác, sao cho tạo ảnh bởi L của bất kỳ tập con bị chặn nào của X cũng là một tập hợp compact tương đối (có bao đóng compact) của Y. Một toán tử như vậy nhất thiết phải là một toán tử bị chặn, và do đó liên tục.

Bất kỳ toán tử bị chặn L nào có hạng hữu hạn cũng là một toán tử compact. Thật ra, lớp các toán tử compact là một sự khái quát tự nhiên của lớp các toán tử có hạng hữu hạn cho trường hợp vô hạn chiều. Nếu Y là một không gian Hilbert, ta có mọi toán tử compact đều là giới hạn của các toán tử có hạng hữu hạn,

Ví dụ

• Mỗi toán tử hạng hữu hạn là compact.
• Với $\backslash ell^p$ và một dãy (t_n) hội tụ về 0, toán tử nhân (Tx)_n=t_nx_n là compact.
• Với g cố định ∈C([0,1];R), xác định toán tử tuyến tính T từ C([0,1];R) vào C([0,1];R) bởi

:: $(Tf)(x)\; =\; \backslash int\_0^x\; f(t)g(t)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; t.$

: Khẳng định toán tử T compact là hệ quả của định lý Ascoli.

• Theo bổ đề Riesz, toán tử đồng nhất là toán tử compact khi và chỉ khi không gian là có số chiều hữu hạn.