Một số hình học (figurate number) là một số có thể dùng để biểu diễn một cách chính quy và rời rạc một hình hình học bằng các điểm. Nếu hình biểu diễn gồm nhiều miền, số hình học có thể được gọi là số đa miền (polytopic), tương tự cũng có các số đa giác hoặc số đa diện.
Một số các số tam giác đầu tiên có thể xây dựng từ các tam giác 1, 2, 3, 4, 5, và 6 dòng như sau:
Các hình trên biểu diễn các tam giác 2 chiều, có thể khái quát cho các số tam giác 3 chiều (tứ diện), 4 chiều (một chiều thời gian).
Số tam giác r-chiều thứ n được tính theo công thức:
là giai thừa của
,
là hệ số nhị thức, và
là siêu giai thừa (super factorial).
Với r = 2, 3, và 4 ta có:
P2(n) = 1/2 n(n + 1) (số tam giác)
P3(n) = 1/6 n(n + 1)(n + 2) (số tứ diện)
*P4(n) = 1/24 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (sô pentatopic)
Tương tự có thể xem xét các số hình vuông và số lập phương.
Gnomon
Các số hình học có liên quan đến hình học Pythagoras, vì Pythagoras đã tạo ra chúng đầu tiên và cho rằng các số này là tổng quát từ các số tổng quát hoá từ một glomon hay một đơn vị cơ sở. Glomon là thành phần cần thiết phải thêm vào một số hình học để chuyển nó thành số tiếp theo.
Chẳng hạn, gnomon của một số hình vuông là số lẻ dạng 2n + 1, n = 1, 2, 3,.... Một hình vuông cớ 8 của các gnomon dạng như sau:
8 8 8 8 8 8 8 8
8 7 7 7 7 7 7 7
8 7 6 6 6 6 6 6
8 7 6 5 5 5 5 5
8 7 6 5 4 4 4 4
8 7 6 5 4 3 3 3
8 7 6 5 4 3 2 2
8 7 6 5 4 3 2 1
Để chuyển từ hình vuông cạnh n thành hình vuông cạnh n + 1, phải bổ sung 2n + một phần tử: vào cuối mỗi dòng một phần tử (n phần tử), vào cuối mỗ cột một phần tử (n phần tử), và một phần tử vào góc. Chẳng hạn khi chuyển hình vuông cạnh 7 thành hình vuông cạnh 8 phải bổ sung 15 phần tử.
Chú ý rằng kỹ thuật gnomonic này cũng đã được cứng minh bằng toán học 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 82.
Căn bậc hai
Người ta có thể tính căn bậc hai của một số bất kỳ nhờ dãy liên tiếp các phép trừ các số lẻ. Chẳng hạn, 64 - 1 = 63; 63 - 3 = 60; 60 - 5 = 55; 55 - 7 = 48; 48 - 9 = 39; 39 - 11 = 28; 28 - 13 = 15; 15 - 15 = 0. Kết quả của các phép trừ đi 8 số lẻ đầu tiên vào 64 bằng 0. do đó căn bậc hai của 64 bằng 8.
Chẳng hạn 1225 = 35 x 35, Ghi nhớ tổng các chữ số của căn bậc hai này bằng 3 + 5 = 8. Căn bậc hai này có thể quy từ 35 phép trừ về chỉ 8 phép trừ. Một cách ngắn gọn, việc này gồm hai "thủ thuật": thủ thuật tách nhóm và thủ thuật chuuyển tiếp.
Thủ thuật tách nhóm đã biết từ giải thuật tính căn bậc hai quen thuộc. Dùng một ký hiệu tách các cặp chữ số từ bên phải, chẳng hạn 1225 thành 12'25; sau đó, bắt đầu tính với cặp chữ số đầu từ bên trái. Vì bình phương của số có một chữ số là số có 1 hoặc 2 chữ số. Như vậy, 1, 2, 3 có bình phương là các số có 1 chữ số: 1, 4, 9, nhưng 4, 5, 6, 7, 8, 9 có bình phương gồm 2 chữ số.
Thủ thuật chuyển tiếp (trong giải thuật này) chuyển từ một cặp này sang sang cặp hai chữ số kế tiếp bên phải.
Ta áp dụng tính căn bậc hai của 1225.
Tách 1225 thành 12'25; bắt đầu tính với cặp bên trái, ở đây là số 12.
Bắt đầu trừ đi các số lẻ:
12 - 1 = 11;
11 - 3 = 8;
8 - 5 = 3; nhưng số lẻ tiếp theo là 7, không thể trừ vào 3, nên cần đến thủ thuật chuyển tiếp.
Chữ số đầu tiên bên trái của căn bậc hai là 3, thực ra biểu diến số 30, vì nó là chữ số thứ hai từ bên phỉa thuộc hàng "mười".
Đặt hiệu 3 (= 8 - 5), vào trước nhóm (25), ta được 325, và tiếp tục dãy các phép trừ cho các số lẻ.
Số lẻ cuối cùng thực hiện phép trừ là 5, số lẻ tiếp theo là 7, không thể trừ tiếp, do đó có một giá trị nội suy giữa 5 và 7 là 6. (Đây là "phần một" của thủ thuật chuyển tiếp.)
Vì số 3 phép trừ biểu diễn số hai chữ số 30, tương đương với thực hiện 30 phép trừ các số lẻ kế tiếp, do đó số lẻ kế tiếp sẽ là 61. (Đây là "phần hai và kết thúc " của thủ thuật chuyển tiếp.)
Kết quả:
325 - 61 = 264;
264 - 63 = 201;
201 - 65 = 136;
136 - 67 = 69;
69 - 69 = 0.
Ta đã chuyển 325 về 0 khi thực hiện 5 phép trừ liên tiếp các số lẻ, do đó chữ số thứ hai của căn bậc hai là 5: và 30 + 5 = 35, nghĩa là căn bậc hai của 1225 là 35, sau 3 + 5 = 8 phép trừ và áp dụng các thủ thuật chuyển tiếp.
Để nhìn lại, xét 144 = 122. Căn bậc hai này dễ dàng tính được từ 12 phép trừ. Tuy nhiên, việc tách nhóm và chuyển tiếp chỉ tốn 1+2=3 phép trừ các số lẻ.
Tách nhóm 144 thành 1'44.
Khởi động với cặp bêb trái, thức hiện phép trừ 1 - 1 = 0; chữ số trái nhất của căn bậc hai là 1, giá trị chuyển tiếp là 10.
mang sang cặp thứ hai: 0 + 44 = 44 và bắt đầu phép trừ các số lẻ.
Nội suy giữa được 1 và lỗi 3 là 2, cho số lẻ đầu tiên là 21, tiếp tục dãy phép trừ với số lẻ 21.
44 - 21 = 23;
23 - 23 = 0,
cho kết quả sau hai phép trừ, chữ số tứ hai là 2: 10 + 2 = 12 là căn bậc hai của 144.
Khối lập phương và căn bậc ba
Lập phương của các số tự nhiên dương có thể tính từ dãy S các số S = 1, 3, 5, 7, 9,..., 2n - 1,...; n = 1, 2, 3,..., bằng các "tổng chuyển":
Số thứ nhất của S: 1 = 13.
Hai số tiếp theo của S: 3 + 5 = 8 = 23.
Ba số tiếp theo của S: 7 + 9 + 11 = 27 = 33.
Bốn số tiếp theo của S: 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 43.
Năm số tiếp theo của S: 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 53.
Sáu số tiếp theo của S: 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 = 63.
Bảy số tiếp theo của S: 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 343 = 73.
Như vậy hiệu các, "hiệu chuyển" của S là căn bậc ba.
Biểu diễn các tính chất toán học
Có thể dùng các viên sỏi,nút chai v.v để biểu diễn các số hính học cho trẻ em ở trường phổ thông. Sẽ tốt cho trẻ nếu dùng các số hình học cho trẻ em khám phá các luật giao hoán và luật kết hợp với phép cộng và phép nhân.
Chẳng hạn, tính chất giao hoán của phép cộng 2 + 3 = 3 + 2 = 5 là:
:
và tính chất giao hoán của phép nhân 2 3 = 3 2 = 6:
:
👁️
0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
Một **số hình học** (_figurate number_) là một số có thể dùng để biểu diễn một cách chính quy và rời rạc một hình hình học bằng các điểm. Nếu hình biểu diễn gồm nhiều
nhỏ| [[Đường cong siêu ellip được xác định bởi chỉ có hữu hạn điểm hữu tỷ (chẳng hạn như các điểm và ) theo định lý Faltings. ]] Trong toán học,
phải|nhỏ| Một tập hợp các [[Đường tròn|vòng tròn và biểu đồ đĩa đơn vị tương ứng ]] **Hình học rời rạc** và **hình học tổ hợp** là các nhánh của hình học nghiên cứu các
Combo Kĩ Thuật Giải Nhanh Bài Toán Hay Và Khó Đại Số Hình Học Lớp 10 Biên Soạn Theo Chương Trình GDPT Mới Bộ 2 Cuốn Các em học sinh lớp 10 thân mến Vậy
Combo Kĩ Thuật Giải Nhanh Bài Toán Hay Và Khó Đại Số Hình Học Lớp 10 Biên Soạn Theo Chương Trình GDPT Mới Bộ 2 Cuốn 1. Kĩ Thuật Giải Nhanh Bài Toán Hay Và
Combo Kĩ Thuật Giải Nhanh Bài Toán Hay Và Khó Đại Số Hình Học Lớp 10 Biên Soạn Theo Chương Trình GDPT Mới Bộ 2 Cuốn 1. Kĩ Thuật Giải Nhanh Bài Toán Hay Và
Combo Giải Nhanh Các Chuyên Đề Đại Số Hình Học 9 Bộ 2 Cuốn 1. Giải Nhanh Các Chuyên Đề Đại Số 9 Nội dung cuốn sách gồm 3 phần Phần I Các chuyên đề
Combo Phân Loại Và Phương Pháp Giải Đại Số - Hình Học 10 Bộ 2 Cuốn 1. Phân Loại Và Phương Pháp Giải Đại Số 10 Phân Loại Và Phương Pháp Giải Đại Số 10
Combo Phương Pháp Giải Toán Chuyên Đề Đại Số Hình Học Lớp 10 Biên Soạn Theo Chương Trình GDPT Mới Bộ 2 Cuốn Trong chương trình môn Toán lớp 10 phần môn Đại Số là
Combo Phân Loại Và Phương Pháp Giải Đại Số - Hình Học 10 là một trong những cuốn thuộc bộ sách Phân loại và phương pháp giải lớp 10, 11, 12 do nhóm tác giả
Combo Phương Pháp Giải Toán Chuyên Đề Đại Số Hình Học Lớp 10 Biên Soạn Theo Chương Trình GDPT Mới Bộ 2 Cuốn Trong chương trình môn Toán lớp 10 phần môn Đại Số là
nhỏ|phải|Diện tích của mỗi hình vuông màu tím trong hình bằng 1/4 diện tích của hình vuông nằm kế bên trái của nó (1/2×=1/4, 1/4×1/4=1/16). Tổng diện tích của tất cả các hình vuông này
nhỏ|[[Đồ thị Cayley của nhóm tự do có hai phần tử sinh. Đây là nhóm hyperbol có biên Gromov là tập Cantor. Tương tự với đồ thị Cayley, nhóm hyperbol và biên của nó là
thumb|alt=Một bản in cổ (Incunabulum) hiển thị phần mở đầu của tác phẩm Siêu hình học của Aristotle ở trung tâm bức tranh. Phía trên là một nhóm người trong trang phục rực rỡ màu
thumb|Bản đồ địa hình với [[đường đồng mức]] thumb|upright|[[Hình ảnh vệ tinh biểu thị độ cao của trung tâm đô thị của vùng đô thị New York, với đảo Manhattan ở trung tâm.]] **Địa hình
thumb|Bảng các yếu tố trong hình học, trích từ cuốn _[[Cyclopaedia_ năm 1728.]] **Hình học** (geometry) bắt nguồn từ ; _geo-_ "đất", _-metron_ "đo đạc", nghĩa là đo đạc đất đai, là ngành toán học
thumb|Bức họa _[[Trường học Athena_ của Raffaello miêu tả các nhà toán học Hy Lạp (có thể là Euclid hoặc Archimedes) đang dùng compa để dựng hình.]] **Hình học Euclid** (còn gọi là **hình học
**_Siêu hình học_** (tiếng Hy Lạp: μετὰ ικά; Latin: _Metaphysica_ , lit: "vươn ra ngoài vật lý") là một trong những tác phẩm chủ yếu của Aristotle và là tác phẩm lớn đầu tiên của
**Hình học phi Euclid** là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong số những tiên đề Euclid. Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình
phải|Một tam giác nhúng trên mặt yên ngựa (mặt [[hyperbolic paraboloid), cũng như hai đường thẳng _song song_ trên nó.]] **Hình học vi phân** là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ
Trong hình học, **điểm** là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa, là cơ sở để xây dựng các khái niệm hình học khác. ## Sơ lược về điểm Điểm được hiểu như là
Một ví dụ về tính tương đẳng. Hai hình bên trái là tương đẳng với nhau trong khi hình thứ ba là [[Đồng dạng (hình học)|đồng dạng với hai hình đầu. Hình cuối cùng thì
nhỏ|"Hình vuông đen", tranh của Kazimir Malevich, 1915 **Trừu tượng Hình học** là một hình thức nghệ thuật trừu tượng dựa trên việc sử dụng các dạng hình học và đôi khi, mặc dù không
Trong toán học, **hình học phức** là ngành nghiên cứu về các đa tạp phức, các đa tạp đại số phức và các hàm biến phức. Các phương pháp chủ đạo bao gồm hình học
thumb|Tỷ lệ vàng trên một đoạn thẳng **Tỷ lệ vàng trong hình học** được xác định nếu một đoạn thẳng chia phần theo tỷ lệ vàng: Tỷ số giữa tổng hai đoạn thẳng **_a
Trong siêu hình học, sự **mở rộng** biểu thị cho cả ý nghĩa 'kéo dài' (tiếng Latin: _extensio_) cũng như 'chiếm không gian', và gần đây nhất, nghĩa là truyền bá nhận thức tinh thần
**Hình học afin** là môn hình học không có bao hàm các khái niệm về gốc tọa độ, chiều dài hay góc, mà thay vào đó là các khái niệm về phép trừ của các
Trong hình học, **định lý De Bruijn–Erdős**, chứng minh bởi Nicolaas Govert de Bruijn và Paul Erdős, đưa ra một chặn dưới cho số đường thẳng xác định bởi _n_ điểm trong mặt phẳng xạ
nhỏ|Hình [[tứ diện, một đối tượng thường gặp trong các bài toán hình học không gian.]] Trong toán học và hình học, **hình học không gian** là một nhánh của hình học nghiên cứu các
:_Về khái niệm cạnh trong lý thuyết đồ thị, xem Cạnh (lý thuyết đồ thị)_ Trong hình học, một **cạnh** là một đoạn thẳng nối hai đỉnh trong một đa giác, đa diện, hoặc trong
Buổi [[ghi hình trực tiếp đầu tiên của đài truyền hình học sinh IgnaśTV (Ba Lan)]] **Truyền hình học sinh - sinh viên** (tiếng Anh: _student television_) bao gồm một đài truyền hình do học
Đây là một danh sách một số thuật ngữ được sử dụng trong hình học Riemannian và hình học metric — không bao gồm các thuật ngữ của tô pô vi phân. Các bài viết
**Hình học Riemann** là một nhánh của hình học vi phân nghiên cứu các đa tạp Riemann, đa tạp trơn với _metric Riemann_ hay với một tích trong (inner product) trên không gian tiếp tuyến
nhỏ|Một mô hình [[kim tự tháp với **đáy** được tô màu.]] Trong hình học, **đáy** là một cạnh của một đa giác hoặc một mặt của một đa diện, nhất là khi cạnh hay mặt
thumb|Điểm Parry và đường tròn Parry. (_G_ trọng tâm, _J_ và _K_ là [[Điểm Isodynamic|hai điểm isodynamic của tam giác _ABC_.)]] Trong hình học phẳng, **điểm Parry** là một điểm đặc biệt trong tam giác,
nhỏ|Hình học giải tích **Hình học giải tích**, cũng được gọi là **hình học tọa độ** hay **hình học Descartes**, là môn học thuộc hình học sử dụng những nguyên lý của đại số. Thường
**Hình học tính** hay **Hình học tính toán** là một phần của toán học rời rạc xem xét các thuật toán giải các bài toán hình học. Trong hình học tính, những bài toán như
nhỏ|300x300px| Trên một mặt cầu, tổng các góc của một tam giác không bằng 180 °. Một hình cầu không phải là không gian Euclide, nhưng cục bộ các định luật của hình học Euclide
phải|khung| Các đường thẳng qua một điểm _P_ cho trước và tiệm cận với đường _R_ phải|nhỏ|250x250px| Một hình tam giác nằm trong một mặt phẳng hình yên ngựa (một [[paraboloid hyperbol), cùng với hai
Trong hình học, **đường thẳng trung tâm** là những đường thẳng có tính chất đặc biệt của một tam giác trong một mặt phẳng. Các tính chất đặc biệt mà phân biệt một đường thẳng
**Phân tích hình học** (hay còn được gọi là **giải tích hình học**) là một nguyên lý toán học tại giao diện giữa hình học vi phân và các phương trình vi phân. Nó bao
Trong lĩnh vực hình học phẳng, **định lý Carnot** đặt tên theo Lazare Carnot (1753–1823). Có 4 định lý được đặt tên là **định lý Carnot**. Định lý thứ nhất nói về tổng khoảng cách
Trong hình học không gian, một **mặt** là một bề mặt (phẳng) mà tạo thành một phần của biên giới của một vật đặc; một khối rắn ba chiều bao bọc bởi các mặt phẳng
[[Tập tin:Circle-withsegments.svg|phải|nhỏ|202x202px|Hình tròn với chu vi (C) màu đen, đường kính (D) màu xanh lam , bán kính (R) màu đỏ, và tâm của hình (O) màu xanh lá.]] Trong hình học, **tâm** của một
thumb|right|upright=1.25| Trong hình học, **định lý Euler** nói về khoảng cách _d_ giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác thể hiện qua công thức
thumb|Định lý Jacobi **Định lý Jacobi ** là một định lý trong lĩnh vực hình học phẳng đặt theo tên của Carl Friedrich Andreas Jacobi một nhà toán học, giáo viên người Đức. Nội dung
**Giải Hình học Oswald Veblen** (tiếng Anh: _Oswald Veblen Prize in Geometry_) là một giải thưởng của Hội Toán học Hoa Kỳ dành cho các công trình nghiên cứu nổi bật trong lãnh vực Hình
Trong hình học vi phân, **đẳng cấu thăng giáng** là một đẳng cấu giữa phân thớ tiếp xúc và phân thớ đối tiếp xúc của một đa tạp Riemann, cảm sinh bởi
Một **hằng số toán học** là một số đặc biệt, thường là một số thực, "có ý nghĩa đáng kể theo cách nào đó". Hằng số phát sinh trong nhiều lĩnh vực của toán học,
**Lý thuyết số** là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà