✨Phần nguyên

Trong toán học và khoa học máy tính, hàm floor (phần nguyên nhỏ hơn) và ceiling (phần nguyên lớn hơn) là các quy tắc cho tương ứng một số thực vào một số nguyên gần nhất bên trái và bên phải số đã cho. Vậy floor(x) là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, còn ceiling(x) là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn x.

Ký hiệu

Gauss giới thiệu cặp ngoặc vuông [x] cho hàm floor trong tương hỗ bậc hai (1808). Nó vẫn là ký hiệu tiêu chuẩn trong toán học cho đến khi Iverson giới thiệu các hàm "floor" và "ceiling" với các ký hiệu $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$ và $\backslash lceil\; x\; \backslash rceil$ vào năm 1962 trong ngôn ngữ lập trình APL của ông ấy. Bây giờ cả hai cách ký hiệu vẫn đang được dùng trong toán học.

Ví dụ

Đọc phần bên dưới để biết thêm về định nghĩa phần lẻ.

Định nghĩa và tính chất

Trong những công thức dưới đây x và y là các số thực, k, m, và n là các số nguyên, và $\backslash mathbb\{Z\}$ là tập hợp số nguyên (số dương, số âm, và không).

Floor và ceiling có thể được định nghĩa bằng tập hợp như sau

:$\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor=\backslash max\backslash ,\; \{n\backslash in\backslash mathbb\{Z\}\backslash mid\; n\backslash le\; x\},$

:$\backslash lceil\; x\; \backslash rceil=\backslash min\backslash ,\{n\backslash in\backslash mathbb\{Z\}\backslash mid\; n\backslash ge\; x\}.$

Trong nửa khoảng có độ dài bằng một có duy nhất một số nguyên, vậy với số thực x tùy ý, có duy nhất cặp m, n thỏa mãn: :

Khi đó $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; =\; m\backslash ;$ và $\backslash ;\backslash lceil\; x\; \backslash rceil\; =\; n\backslash ;$ có thể là định nghĩa cho các hàm floor và ceiling.

Phần lẻ x ký hiệu $\{x\}$ là hàm số định nghĩa theo công thức sau, $\{x\}\; =\; x\; -\backslash lfloor\; x\backslash rfloor,$ và toán tử mô-đun được định nghĩa theo công thức:

$x\; \backslash ,\backslash bmod\backslash ,\; y\; =\; x-y\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{x\}\{y\}\backslash right\backslash rfloor.$

Tương đương

Các công thức dưới đây dùng để rút gọn các biểu thức chứa các hàm floor, ceiling.

:

\lfloor x \rfloor = n &\;\;\Leftrightarrow &x-1 &< n \le x,\ \lceil x \rceil = n &\;\;\Leftrightarrow &x &\le n < x+1. \end{align}

Trong ngôn ngữ của lý thuyết thứ tự, hàm floor là một ánh xạ thặng dư, hay một phần của một liên kết Galois: nó là liên hợp trên của hàm số nhúng các số nguyên vào tập hợp số thực.

:

Các công thức dưới đây đưa ra quy tắc khi cộng thêm một số nguyên vào các hàm phần nguyên như thế nào:

:

Các công thức trên không đúng nếu n không phải số nguyên, tuy vậy: :

Mối liên hệ giữa các hàm

Từ định nghĩa dễ dàng có được :$\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; \backslash le\; \backslash lceil\; x\; \backslash rceil,$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x là số nguyên, i.e. :

n là số nguyên thì: :$\backslash lfloor\; n\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lceil\; n\; \backslash rceil\; =\; n.$

Khi số âm là đối số thì đổi các hàm floor và ceil đồng thời đưa dấu trừ ra ngoài: :$\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; +\backslash lceil\; -x\; \backslash rceil=0,$ tức là: :$\backslash lfloor\; -x\; \backslash rfloor\; =-\backslash lceil\; x\; \backslash rceil,$ :$\backslash lceil\; -x\; \backslash rceil\; =-\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor,$

:

:

Về phần lẻ:

:

Floor, ceiling, và phần lẻ là hàm lũy đẳng:

:

Dễ thấy các đẳng thức sau là đúng: :

Với y có định thì, x mod y là hàm lũy đẳng: :$(x\; \backslash ,\backslash bmod\backslash ,\; y)\; \backslash ,\backslash bmod\backslash ,\; y\; =\; x\; \backslash ,\backslash bmod\backslash ,\; y.\backslash ;$ Cũng từ định nghĩa ta có, :$\{x\}=\; x\; \backslash ,\backslash bmod\backslash ,\; 1.\backslash ;$

Phép chia

Nếu n ≠ 0, :$0\; \backslash le\; \backslash left\; \{\backslash frac\{m\}\{n\}\; \backslash right\}\; \backslash le\; 1-\backslash frac\{1\}.$

Nếu n > 0, :$\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{x+m\}\{n\}\backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{\backslash lfloor\; x\backslash rfloor\; +m\}\{n\}\backslash right\backslash rfloor,$

:$\backslash left\backslash lceil\backslash frac\{x+m\}\{n\}\backslash right\backslash rceil\; =\; \backslash left\backslash lceil\backslash frac\{\backslash lceil\; x\backslash rceil\; +m\}\{n\}\backslash right\backslash rceil.$

Nếu m > 0, :$n=\backslash left\backslash lceil\backslash frac\{n\}\{m\}\backslash right\backslash rceil\; +\; \backslash left\backslash lceil\backslash frac\{n-1\}\{m\}\backslash right\backslash rceil\; +\backslash dots+\backslash left\backslash lceil\backslash frac\{n-m+1\}\{m\}\backslash right\backslash rceil,$

:$n=\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n\}\{m\}\backslash right\backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n+1\}\{m\}\backslash right\backslash rfloor\; +\backslash dots+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n+m-1\}\{m\}\backslash right\backslash rfloor.$

Với m = 2: :$n=\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{n\}\{2\}\backslash right\; \backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lceil\backslash frac\{n\}\{2\}\backslash right\; \backslash rceil.$

Tổng quát, với m > 0, :$\backslash lceil\; mx\; \backslash rceil\; =\backslash left\backslash lceil\; x\backslash right\backslash rceil\; +\; \backslash left\backslash lceil\; x-\backslash frac\{1\}\{m\}\backslash right\backslash rceil\; +\backslash dots+\backslash left\backslash lceil\; x-\backslash frac\{m-1\}\{m\}\backslash right\backslash rceil,$

:$\backslash lfloor\; mx\; \backslash rfloor=\backslash left\backslash lfloor\; x\backslash right\backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lfloor\; x+\backslash frac\{1\}\{m\}\backslash right\backslash rfloor\; +\backslash dots+\backslash left\backslash lfloor\; x+\backslash frac\{m-1\}\{m\}\backslash right\backslash rfloor.$

Biểu thức dưới đây dùng để chuyển đổi floor sang ceiling và ngược lại (m > 0)

:$\backslash left\backslash lceil\; \backslash frac\{n\}\{m\}\; \backslash right\backslash rceil\; =\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{n+m-1\}\{m\}\; \backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{n\; -\; 1\}\{m\}\; \backslash right\backslash rfloor\; +\; 1,$ :$\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{n\}\{m\}\; \backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash left\backslash lceil\; \backslash frac\{n-m+1\}\{m\}\; \backslash right\backslash rceil\; =\; \backslash left\backslash lceil\; \backslash frac\{n\; +\; 1\}\{m\}\; \backslash right\backslash rceil\; -\; 1,$

Nếu m và n là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau, thì :$\backslash sum\_\{i=1\}^\{n-1\}\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{im\}\{n\}\; \backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(m\; -\; 1)(n\; -\; 1).$

Vì vế phải của biểu thức trên đối xứng theo m và n, vậy nên ta có biểu thức dưới đây :$\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{m\}\{n\}\; \backslash right\; \backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{2m\}\{n\}\; \backslash right\; \backslash rfloor\; +\; \backslash dots\; +\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{(n-1)m\}\{n\}\; \backslash right\; \backslash rfloor\; =\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{n\}\{m\}\; \backslash right\; \backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{2n\}\{m\}\; \backslash right\; \backslash rfloor\; +\; \backslash dots\; +\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{(m-1)n\}\{m\}\; \backslash right\; \backslash rfloor.$

Tổng quát, nếu m và n nguyên dương: :

Cho các số nguyên dương m, n và số thực ngẫu nhiên x: : $\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{\backslash lfloor\; x/m\backslash rfloor\}\{n\}\; \backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{x\}\{mn\}\; \backslash right\backslash rfloor$ : $\backslash left\backslash lceil\; \backslash frac\{\backslash lceil\; x/m\backslash rceil\}\{n\}\; \backslash right\backslash rceil\; =\; \backslash left\backslash lceil\; \backslash frac\{x\}\{mn\}\; \backslash right\backslash rceil$

Sự liên tục

Không có hàm nào chúng ta đang xét là liên tục cả, nhưng đều tuyến tính trên từng đoạn. $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$ và $\backslash lceil\; x\; \backslash rceil$ là hàm hằng trên từng đoạn và gián đoạn tại các điểm nguyên. Hàm $\{\; x\}$ cũng gián đoạn tại các điểm nguyên, và $x\; \backslash ,\backslash bmod\backslash ,\; y$ với biến x hằng y gián đoạn tại các bội của y.

$\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$ là bán liên tục trên còn $\backslash lceil\; x\; \backslash rceil$ và $\backslash \{\; x\backslash \}\backslash ;$ là bán liên tục dưới. _x_ mod _y_ là bán liên tục dưới với _y_ dương và là bán liên tục trên với _y_ âm.

Khai triển chuỗi

Các hàm chúng ta đang xét đều không liên tục vì thế chúng không có các khai triển chuỗi lũy thừa. Hàm floor và ceiling không liên tục nên không có khai triển Fourier.

Với y cố định, x mod y có khai triển Fourier :$x\; \backslash ,\backslash bmod\backslash ,\; y\; =\; \backslash frac\{y\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{y\}\{\backslash pi\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash sin\backslash left(\backslash frac\{2\; \backslash pi\; k\; x\}\{y\}\backslash right)\}\; \{k\}.$

Phần lẻ {x} = x mod 1 khai triển: :$\{x\}=\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash sin(2\; \backslash pi\; k\; x)\}\; \{k\}.$

Dùng công thức {x} = x − floor(x), floor(x) = x − {x} ta có :$\backslash lfloor\; x\backslash rfloor\; =\; x\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash sin(2\; \backslash pi\; k\; x)\}\{k\}.$

Ứng dụng

Phần lẻ

Hàm phần lẻ là hàm răng cưa, ký hiệu $\{x\}$ với x là số thực, được định nghĩa bởi công thức :$\{x\}\; =\; x\; -\backslash lfloor\; x\backslash rfloor.$

Với mọi x, :

Với x>0 trong dạng thập phân, floor(x) là phần bên trái của biểu diễn thập phân, phần lẻ của x là phần bên phải khi thay tất cả các số bên trái bởi 0.

Toán tử mod

Toán tử mod, ký hiệu là x mod y,x, y thực, y ≠ 0, xác định theo công thức

:$x\; \backslash ,\backslash bmod\backslash ,\; y\; =\; x-y\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{x\}\{y\}\backslash right\backslash rfloor.$

x mod y luôn nằm giữa 0 và y; i.e.

Nếu y > 0, : còn nếu y < 0, :$0\; \backslash ge\; x\; \backslash ,\backslash bmod\backslash ,\; y\; >y.$

Nếu x nguyên còn y nguyên dương, :$(x\; \backslash ,\backslash bmod\backslash ,\; y)\; \backslash equiv\; x\; \backslash pmod\{y\}.$

x mod y với y có định là hàm răng cưa.

Luật tương hỗ bậc hai

Chứng minh thứ ba của Gauss về luật tương hỗ bậc hai, được hiệu đính bởi Eisenstein, có hai bước cơ bản.

Cho p và q là hai số nguyên tố lẻ phân biệt, và đặt :$m\; =\; \backslash frac\{p\; -\; 1\}\{2\},\backslash ;\backslash ;\; n\; =\; \backslash frac\{q\; -\; 1\}\{2\}.$

Đầu tiên, bổ đề Gauss được sử dụng để cho thấy rằng ký hiệu Legendre có thể được tính bằng các công thức

:$\backslash left(\backslash frac\{q\}\{p\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{q\}\{p\}\backslash right\backslash rfloor\; +\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{2q\}\{p\}\backslash right\backslash rfloor\; +\backslash dots\; +\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{mq\}\{p\}\backslash right\backslash rfloor\; \}$

và :$\backslash left(\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right\backslash rfloor\; +\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{2p\}\{q\}\backslash right\backslash rfloor\; +\backslash dots\; +\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{np\}\{q\}\backslash right\backslash rfloor\; \}.$

Bước thứ hai là sử dụng một lập luận hình học để chứng tỏ rằng

:$\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{q\}\{p\}\backslash right\backslash rfloor\; +\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{2q\}\{p\}\backslash right\backslash rfloor\; +\backslash dots\; +\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{mq\}\{p\}\backslash right\backslash rfloor$

+\left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2p}{q}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{np}{q}\right\rfloor

= mn.

Kết hợp các biểu thức trên ta có luật tương hỗ bậc hai dưới dạng

:$\backslash left(\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right)\; \backslash left(\backslash frac\{q\}\{p\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{mn\}=(-1)^\{\backslash frac\{p-1\}\{2\}\backslash frac\{q-1\}\{2.$

Một số công thức sử dụng hàm floor để biểu diễn sự tương hỗ bậc hai của các số nhỏ modulo số nguyên tố lẻ p: :$\backslash left(\backslash frac\{2\}\{p\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{p+1\}\{4\}\backslash right\backslash rfloor\},$

:$\backslash left(\backslash frac\{3\}\{p\}\backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{p+1\}\{6\}\backslash right\backslash rfloor\}.$

Làm tròn

Việc làm tròn các số dương x đến số nguyên gần nhất được diễn tả như sau $\backslash lfloor\; x\; +\; 0.5\backslash rfloor.$

Số các chữ số

Số các chữ số trong hệ cơ số b của số nguyên dương k là ::$\backslash lfloor\; \backslash log\_\{b\}\{k\}\; \backslash rfloor\; +\; 1.$

Thừa số của giai thừa

đặt n nguyên dương và p là số nguyên tố. Lũy thừa của p trong khai triển của n! được cho bởi công thức

:$\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n\}\{p\}\backslash right\backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n\}\{p^2\}\backslash right\backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n\}\{p^3\}\backslash right\backslash rfloor\; +\; \backslash dots$

Chú ý rằng đó là tổng có giới hạn, số hạng bằng không khi _p_^_k_ > _n_.

Dãy Beatty

Dãy Beatty cho thấy cách mà mỗi số vô tỉ dương tạo ra một phân hoạch các số nguyên thành hai dãy bằng hàm floor.

Hằng số Euler γ

Đây là những công thức cho Hằng số Euler γ = 0.57721 56649... chứa các hàm floor và ceiling, chẳng hạn:

:$\backslash gamma\; =\backslash int\_1^\backslash infty\backslash left(\{1\backslash over\backslash lfloor\; x\backslash rfloor\}-\{1\backslash over\; x\}\backslash right)\backslash ,dx,$

:$\backslash gamma\; =\; \backslash lim${n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum{k=1}^n \left (\left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right),

và

:$\backslash gamma\; =\; \backslash sum\_\{k=2\}^\backslash infty\; (-1)^k\; \backslash frac\{\; \backslash left\; \backslash lfloor\; \backslash log\_2\; k\; \backslash right\; \backslash rfloor\}\{k\}\; =\; \backslash tfrac12-\backslash tfrac13$

• 2\left(\tfrac14 - \tfrac15 + \tfrac16 - \tfrac17\right)
• 3\left(\tfrac18 - \dots - \tfrac1{15}\right) + \dots

Hàm Riemann ζ

Các công thức cho số nguyên tố

n là số nguyên tố khi và chỉ khi

:$\backslash sum\_\{m=1\}^\backslash infty\; \backslash left(\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n\}\{m\}\backslash right\backslash rfloor-\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n-1\}\{m\}\backslash right\backslash rfloor\backslash right)\; =\; 2.$

r là số nguyên lớn hơn 1, p_n là số nguyên tố thứ n, ký hiệu

:$\backslash alpha\; =\; \backslash sum\_\{m=1\}^\backslash infty\; p\_m\; r^\{-m^2\}.$

Thì

:$p\_n\; =\; \backslash left\backslash lfloor\; r^\{n^2\}\backslash alpha\; \backslash right\backslash rfloor\; -\; r^\{2n-1\}\backslash left\backslash lfloor\; r^\{(n-1)^2\}\backslash alpha\backslash right\backslash rfloor.$

Có số θ = 1.3064... với tính chất

:$\backslash left\backslash lfloor\; \backslash theta^3\; \backslash right\backslash rfloor,\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash theta^9\; \backslash right\backslash rfloor,\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash theta^\{27\}\; \backslash right\backslash rfloor,\; \backslash dots$

đều là số nguyên tố.

Cũng có thêm số ω = 1.9287800... mà

:$\backslash left\backslash lfloor\; 2^\backslash omega\backslash right\backslash rfloor,\; \backslash left\backslash lfloor\; 2^\{2^\backslash omega\}\; \backslash right\backslash rfloor,\; \backslash left\backslash lfloor\; 2^\{2^\{2^\backslash omega\; \backslash right\backslash rfloor,\; \backslash dots$

đều nguyên tố.

:$\backslash pi(n)\; =\; \backslash sum\_\{j=2\}^n\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{(j-1)!+1\}\{j\}\; -\; \backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{(j-1)!\}\{j\}\backslash right\backslash rfloor\backslash right\backslash rfloor.$

Nếu n ≥ 2,

:$\backslash pi(n)\; =\; \backslash sum${j=2}^n \left\lfloor \frac{1}{\sum{k=2}^j\left\lfloor\left\lfloor\frac{j}{k}\right\rfloor\frac{k}{j}\right\rfloor}\right\rfloor.

Không công thức nào trên đây ứng dụng thực tế.

Vấn đề đã giải quyết

Ramanujan đã gửi các bài toán sau đây đến Journal of the Indian Mathematical Society.

Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng:

:$\backslash left\backslash lfloor\backslash tfrac\{n\}\{3\}\backslash right\backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lfloor\backslash tfrac\{n+2\}\{6\}\backslash right\backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lfloor\backslash tfrac\{n+4\}\{6\}\backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash left\backslash lfloor\backslash tfrac\{n\}\{2\}\backslash right\backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lfloor\backslash tfrac\{n+3\}\{6\}\backslash right\backslash rfloor,$

:$\backslash left\backslash lfloor\backslash tfrac12\; +\; \backslash sqrt\{n+\backslash tfrac12\}\backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash left\backslash lfloor\backslash tfrac12\; +\; \backslash sqrt\{n+\backslash tfrac14\}\backslash right\backslash rfloor,$

:$\backslash left\backslash lfloor\backslash sqrt\{n\}+\; \backslash sqrt\{n+1\}\backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash sqrt\{4n+2\}\backslash right\backslash rfloor.$

Vấn đề chưa giải quyết

Có số nguyên dương k nào thỏa mãn, k ≥ 6, mà: :$3^k-2^k\backslash left\backslash lfloor\; \backslash left(\backslash tfrac32\backslash right)^k\; \backslash right\backslash rfloor\; >\; 2^k-\backslash left\backslash lfloor\; \backslash left(\backslash tfrac32\backslash right)^k\; \backslash right\backslash rfloor\; -2\backslash ;\backslash ;?$

Mahler đã chứng minh chỉ có hữu hạn số k như vậy; tuy nhiên người ta vẫn chưa biết số nào như vậy.