✨Biểu thị tự do

Trong đại số, một biểu thị tự do của một mô-đun M trên một vành giao hoán R là một dãy khớp các R-mô-đun:

: $\backslash bigoplus${i \in I} R \overset{f} \to \bigoplus{j \in J} R \overset{g}\to M \to 0.

Lưu ý rằng ảnh qua g của một cơ sở chính tắc của $\backslash oplus\_\{j\backslash in\; J\}R$ sinh $M$. Nếu $J$ là hữu hạn thì $M$ là một mô-đun hữu hạn sinh. Nếu $I$ và $J$ cùng là các tập hữu hạn thì biểu thị được gọi là một biểu thị hữu hạn.

Một biểu thị tự do luôn tồn tại: bất kỳ mô-đun nào đều là thương của một mô-đun tự do: $F\; \backslash overset\{g\}\backslash to\; M\; \backslash to\; 0$; hạch của g lại là thương của một mô-đun tự do: $F\text{'}\; \backslash overset\{f\}\; \backslash to\; \backslash ker\; g\; \backslash to\; 0$. Nối hai dãy khớp này ta thu được một biểu thị tự do của $M$. Nếu ta tiếp tục quá trình trên, ta sẽ thu được một phân giải tự do của $M$. Một biểu thị tự do, do đó, là một đoạn đầu ngắn của chuỗi phân giải tự do.