✨Số quay

Trong toán học, số quay là một bất biến gắn với một phép đồng phôi của đường tròn.

Định nghĩa

Giả sử f: S ¹ → S ¹ là một phép đồng phôi bảo toàn định hướng của đường tròn S¹=R/Z. Thế thì f có thể được nâng lên thành một phép đồng phôi duy nhất F:R→R của đường thẳng thực, thỏa mãn

: $F(x\; +\; m)\; =\; F(x)\; +m$

với mọi số thực x và mọi số nguyên m.

Số quay của f được xác định bởi:

: $\backslash omega(f)=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{F^n(x)-x\}\{n\}.$

Henri Poincaré đã chứng minh rằng giới hạn này tồn tại và độc lập với sự lựa chọn điểm bắt đầu x. Số quay là một phần tử của R/Z. Một cách trực quan, nó đo góc quay trung bình dọc theo quỹ đạo của f.

Ví dụ

Nếu f là một phép quay với góc 2πθ (trong đó 0≤θ <1), thì

: $F(x)=x+\backslash theta,$

do đó số quay của f là θ.

Tính chất

Số quay là bất biến dưới liên hợp tôpô: nếu f và g là hai phép đồng phôi của đường tròn và

: $h\backslash circ\; f\; =\; g\backslash circ\; h$

với một ánh xạ liên tục đơn điệu h từ đường tròn vào chính nó (không nhất thiết là đồng phôi) thì f và g có cùng số quay.

Số quay được Poincaré và Arnaud Denjoy sử dụng để phân loại các phép đồng phôi của đường tròn. Có hai khả năng:

• Số quay f là số hữu tỷ p/q (phân số tối giản). Khi đó f có quỹ đạo tuần hoàn, mọi quỹ đạo đều có chu kỳ q.
• Số quay của f là một số vô tỷ θ. Thế thì f không có quỹ đạo tuần hoàn. Có hai trường hợp con:

:# Có một quỹ đạo trù mật.
:# Tồn tại một tập hợp Cantor C bất biến dưới tác động của f.

Số quay là một ánh xạ liên tục từ nhóm các phép đồng phôi (với tô pô $C^0$) của đường tròn vào đường tròn.