✨Hình quạt cầu

thumb|Hình quạt cầu (xanh lam) và tiết diện.

Trong hình học không gian, hình quạt cầu là một phần của hình cầu xác định bởi mặt biên của một hình nón có đỉnh nằm tại tâm của hình cầu. Có thể coi nó là hợp của một hình chỏm cầu và hình nón có định tại tâm hình cầu và đáy bằng đáy của hình chỏm cầu.

Thể tích

thumb|Hình quạt cầu tách khỏi hình cầu. Nếu bán kính của hình cầu bằng r và chiều cao của chỏm cầu bằng h, thể tích của hình quạt cầu bằng

:$V=\backslash frac\{2\backslash pi\; r^2h\}\{3\}\backslash ,.$

Có thể viết công thức trên thành

:$V=\backslash frac\{2\backslash pi\; r^3\}\{3\}(1-\backslash cos\backslash varphi)\backslash ,,$

với φ là một nửa góc ở đỉnh của hình nón, hay góc tạo bởi biên của hình nón và đường thẳng nối về trung điểm của chỏm cầu từ tâm hình cầu.

Diện tích

Diện tích mặt cong của hình quạt cầu (nằm trên bề mặt hình cầu, không kể mặt nón) là

:$A=2\backslash pi\; rh\backslash ,.$

Nó cũng bằng

:$A=\backslash Omega\; r^2$

với Ω là góc khối của hình quạt cầu đo theo steradian, đơn vị SI của góc khối. 1 steradian được định nghĩa là góc khối chắn hình quạt cầu có diện tích A = r².

Chứng minh công thức

Thể tích có thể tính bằng cách tích phân nguyên tố thể tích vi phân

:$dV\; =\; \backslash rho^2\; \backslash sin\; \backslash theta\; d\backslash rho\; d\backslash phi\; d\backslash theta$

miền xác định trên thể tích của hình quạt cầu,

:$V=\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\backslash int\_0^\backslash varphi\backslash int\_0^r\backslash rho^2\backslash sin\backslash phi\; \backslash ,\; d\backslash rho\; d\backslash phi\; d\backslash theta=\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\; d\backslash theta\; \backslash int\_0^\backslash varphi\; \backslash sin\backslash phi\; d\backslash phi\; \backslash int\_0^r\; \backslash rho^2d\backslash rho\; =\backslash frac\{2\backslash pi\; r^3\}\{3\}(1-\backslash cos\backslash varphi)\; \backslash ,,$

ở đây tích phân đã được tách lớp, bởi vì tích phân có thể tách thành tích của những hàm với từng biến độc lập nhau.

Diện tích được tính tương tự bằng cách lấy tích phân nguyên tố diện tích

:$dA\; =\; r^2\; \backslash sin\backslash phi\; d\backslash phi\; d\backslash theta$

xác định trên diện tích cho quạt cầu, cho

:$A=\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\; \backslash int\_0^\backslash varphi\; r^2\; \backslash sin\backslash phi\; d\backslash phi\; d\backslash theta=\; r^2\; \backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\; d\backslash theta\; \backslash int\_0^\backslash varphi\; \backslash sin\backslash phi\; d\backslash phi\; =2\backslash pi\; r^2(1-\backslash cos\backslash varphi)\; \backslash ,,$

với φ là độ nghiêng (hay mặt đứng) và θ là góc phương vị (phải). Chú ý r là hằng số. Và tương tự tích phân có thể tách lớp để tính đơn giản hơn.