✨Giả thuyết Collatz

Giả thuyết Collatz

Giả thuyết Collatz đề cập đến một dãy số xác định như sau: bắt đầu bằng một số tự nhiên n bất kỳ. Mỗi số tiếp theo được xác định theo số trước đó bằng định nghĩa sau: nếu số trước đó là một số chẵn, thì số tiếp theo bằng một nửa số trước. Nếu số trước là một số lẻ, thì số tiếp theo bằng ba lần số trước cộng với 1. Phỏng đoán cho rằng với bất kỳ giá trị nào của n, dãy số luôn luôn đạt tới 1.

Phỏng đoán mang tên nhà toán học người Đức Lothar Collatz, ông đã nêu ra nó vào năm 1937, hai năm sau khi nhận bằng tiến sĩ toán học. Nó còn được biết đến là phỏng đoán 3n + 1, phỏng đoán Ulam (mang tên của Stanisław Ulam), bài toán Kakutani (mang tên Shizuo Kakutani), phỏng đoán Thwaites (mang tên Sir Bryan Thwaites), thuật toán Hasse (mang tên Helmut Hasse), hay bài toán Syracuse; dãy các số tự nhiên này cũng còn được gọi là dãy số mưa đá (bởi vì giá trị của chúng thường trải qua những đợt tăng hoặc giảm giá trị giống như hạt mưa đá bay lên và rơi xuống trong đám mây), hoặc các số ngạc nhiên.

Paul Erdős từng nói về phỏng đoán Collatz: "Toán học có thể chưa sẵn sàng cho những vấn đề như thế này." Jeffrey Lagarias năm 2010 dựa trên những thông tin hiểu biết về tình trạng của vấn đề này đã nói, "đây là một bài toán cực kỳ khó, vượt hoàn toàn ra khỏi tầm với của toán học hiện nay."

Tổng quan

thumb|Các số từ 1 đến 9999 và tổng thời gian dừng tương ứng thumb|Biểu đồ thể hiện tổng thời gian dừng từ 1 đến 100 triệu. Tổng thời gian dừng biểu diễn trên trục hoành, [[Tần số|tần suất của tổng thời gian dừng trên trục tung.]] thumb|Số bước lặp của các số từ 2 đến 10 triệu.

Xét một phép toán sau tác động lên một số nguyên dương bất kỳ:

Nếu nó là số chẵn, chia số đó cho 2.
Nếu nó là số lẻ, nhân số đó với 3 và cộng 1.

Theo ký hiệu của số học mô đun, hàm số f được xác định như sau:

: $f(n) = \begin{cases} n/2 &\text{nếu } n \equiv 0 \pmod{2}\ 3n+1 & \text{nếu } n\equiv 1 \pmod{2}.\end{cases}$

Sau đó một dãy số được hình thành từ các phép tính lặp lại này, bắt đầu bằng một số tự nhiên bất kỳ, mỗi số sau được xác định từ số trước đó.

Viết bằng ký hiệu:

: $a$ i = \begin{cases}n & \text{với } i = 0 \ f(a{i-1}) & \text{với } i > 0 \end{cases}

(nghĩa là: $a_i$ là giá trị của $f$ áp dụng với $n$ bằng cách lặp đệ quy $i$ lần; $a_i = f^i(n)$ ).

Phỏng đoán Collatz cho rằng: Quá trình cuối cùng sẽ tiến tới 1, bất kể giá trị ban đầu được chọn bằng bao nhiêu.

Giá trị i nhỏ nhất sao cho a_i = 1 được gọi là tổng thời gian dừng của n. :nhỏ hơn 100 tỷ là 75.128.138.247, với 1228 bước lặp, :nhỏ hơn 1 nghìn tỷ là 989.345.275.647, với 1348 bước lặp, :nhỏ hơn 10 nghìn tỷ là 7.887.663.552.367, với 1563 bước lặp, :nhỏ hơn 100 nghìn tỷ là 80.867.137.596.217, với 1662 bước lặp, :nhỏ hơn 1 triệu tỷ là 942.488.749.153.153, với 1862 bước lặp, :nhỏ hơn 10 triệu tỷ là 7.579.309.213.675.935, với 1958 bước lặp, và :nhỏ hơn 100 triệu tỷ là 93.571.393.692.802.302, với 2091 bước lặp.

Chú ý: những số này là những số thấp nhất với số bước tính đã được chỉ ra, nhưng không cần chỉ ra những số duy nhất đằng sau giới hạn đã cho. Ví dụ, 9,780,657,631 có 1132 bước như thế.

Những luỹ thừa cúa 2 hội tụ tới 1 nhanh chóng bởi vì $2^n$ được giảm đi 1 nửa n lần để đạt đến 1, và không bao giờ tăng tiến.

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Giả thuyết Collatz

**Giả thuyết Collatz** đề cập đến một dãy số xác định như sau: bắt đầu bằng một số tự nhiên _n_ bất kỳ. Mỗi số tiếp theo được xác định theo số trước đó bằng

💫 Lý thuyết số

**Lý thuyết số** là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà

💫 Dãy tung hứng

Trong lý thuyết số, **dãy tung hứng** là dãy số nguyên bắt đầu từ số nguyên dương _a_₀, với mỗi phần tử sau đó được tính theo công thức đệ quy sau:

a_{k+1}= \begin{cases} \left

💫 Danh sách vấn đề mở trong toán học

Danh sách các vấn đề mở trong toán học ## Danh sách các bài toán mở trong toán học nói chung Nhiều nha toán học và tổ chức đã xuất bản danh sách cái bài

💫 Chứng minh toán học

Trong toán học, một **chứng minh** là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn.