✨Đường thẳng Droz-Farny

right|thumb|Đường thẳng qua các điểm $A\_0,B\_0,C\_0$ là đường thẳng Droz-Farny Trong hình học phẳng, đường thẳng Droz-Farny nói về một tính chất của hai đường thẳng vuông góc cắt nhau tại trực tâm của một tam giác bất kỳ. Nội dung như sau:

Cho tam giác $ABC$, và $H$ là trực tâm (trực tâm là điểm đồng quy của ba đường cao trong tam giác). Nếu như hai đường thẳng $d\_1$ và $d\_2$ vuông góc với nhau tại $H$. Ta đặt $A\_1$, $B\_1$, và $C\_1$ lần lượt là các giao điểm của $d\_1$ với các cạnh $BC$, $CA$, và $AB$. Tương tự ta đặt $A\_2$, $B\_2$, and $C\_2$ lần lượt là các giao điểm của $d\_2$ với các cạnh của tam giác $BC$, $CA$, and $AB$. Định lý đường thẳng Droz-Farny khẳng định rằng trung điểm các đoạn thẳng $A\_1A\_2$, $B\_1B\_2$, và $C\_1C\_2$ thẳng hàng.

Định lý được phát biểu bởi Arnold Droz-Farny năm 1899, nhưng không được chứng minh.

Tổng quát của Goormaghtigh

Một tổng quát của đường thẳng Droz-Farny đưa ra và chứng minh bởi René Goormaghtigh năm 1930.. Định lý Goormaghtigh phát biểu rằng: Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ trên đường thằng $d$, các đường thẳng đối xứng của $PA,PB,PC$ qua đường thẳng $d$ cắt các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $A\_0,B\_0,C\_0$ thì $A\_0,B\_0,C\_0$ thẳng hàng. Khi điểm $P$ tại trực tâm của tam giác, đường thẳng này trở thành đường thẳng Droz-Farny.

Tổng quát của Đào

thumb|right|Đào tổng quát định lý Goormaghtigh

Kết quả tiếp tục được mở rộng bởi Đào Thanh Oai. Mở rộng này có thể được hiểu như sau:

Mở rộng thứ nhất: Nếu trung điểm của các đoạn thẳng song song AA', BB', CC' nằm trên đường thẳng chứa điểm D. Khi đó ba đường thẳng DA', DB', DC' lần lượt cắt ba cạnh BC, CA, AB tại ba điểm thẳng hàng. Kết quả tiếp tục được mở rộng như sau:

thumb|Trường hợp điểm D nằm trên đường thẳng đối cực của P

Mở rộng tổng quát: ''Cho đường conic (S) và điểm $P$ trên mặt phẳng, ba đường thẳng qua $P$ cắt đường conic lần lượt tại các điểm $A,\; A\text{'}$; $B,\; B\text{'}$; $C,\; C\text{'}$. Cho $D$ là một điểm nằm trên đường thẳng đối cực của $P$ hoặc trên đường conic (S) thì $DA\text{'},\; DB\text{'},\; DC\text{'}$ lần lượt cắt ba cạnh $BC,\; CA,\; AB$ tại ba điểm $A\_0,\; B\_0,\; C\_0$ thẳng hàng. Hơn thế bốn điểm $A\_0,\; B\_0,\; C\_0,\; P$ thẳng hàng khi và chỉ khi $D$ nằm trên đường conic (S).