✨Bổ đề Bézout

Bổ đề Bézout

Trong lý thuyết số cơ bản, bổ đề Bézout được phát biểu thành định lý sau:

Nếu d = \gcd(a,b) là ước chung lớn nhất của hai số nguyên không âm ab thì:

  • Tồn tại hai số nguyên xy sao cho a\cdot x + b\cdot y = d,
  • d là số nguyên dương nhỏ nhất có thể viết dưới dạng a\cdot x + b\cdot y
  • Mỗi số e có dạng a\cdot x + b\cdot y đều là bội của d.

Hai số xy được gọi là hệ số Bézout của cặp (a,b). Cặp (x, y) không phải là duy nhất. Có thể dùng giải thuật Euclid mở rộng để xác định giá trị của cặp (x, y). Nếu ab đồng thời khác 0 thì từ giải thuật Euclid mở rộng ta có cặp (x, y) sao cho |x|\le \left |\frac{b}{d}\right ||y|\le\left |\frac{a}{d}\right | (đẳng thức có thể xảy ra khi và chỉ khi a hoặc b là bội số của số còn lại).

Nhiều định lý khác trong lý thuyết số cơ bản là kết quả của bổ đề Bézout, chẳng hạn như bổ đề Euclid hoặc định lý số dư Trung Hoa.

Đại số giao hoán

Đặt A là một vành. Ta nói A là một miền Bézout nếu với mọi i-đê-an chính (a)(b) trong A, ta có (a)+(b)={ra+sb\mid r,s\in A} là một i-đê-an chính. Phần tử sinh của nó cũng được gọi là ước số chung lớn nhất của ab.

Mọi miền Bézout đều thỏa mãn bổ đề Bézout (trừ điều kiện "nhỏ nhất", bởi trên vành A không nhất thiết phải có một thứ tự). Đặc biệt, đặc biệt các vành chính là các miền Bézout. Mỗi định lý rút ra từ bổ đề Bézout là đúng trong tất cả các vành đó.

Dạng của đáp án

Với một cặp hệ số Bézout (x, y) được cho trước (bằng cách dùng giải thuật Euclid mở rộng), thì tất cả các cặp hệ số còn lại có dạng :\left(x+k\cdot \frac{b}{\gcd(a,b)},\ y-k\cdot \frac{a}{\gcd(a,b)}\right), với là một số nguyên ngẫu nhiên và các phân số được đơn giản hóa thành các số nguyên.

Có chính xác 2 cặp trong tất cả các cặp hệ số Bézout thỏa mãn: : |x| \le \left |\frac{b}{\gcd(a,b)}\right |\quad \text{và}\quad |y| \le \left |\frac{a}{\gcd(a,b)}\right |, và đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi và chỉ khi hoặc là bội số của số còn lại.

Kết quả này dựa trên tính chất của phép chia có dư: Cho 2 số nguyên cd, nếu c không chia hết cho d thì có chính xác một cặp (q,r) sao cho c = d\cdot q + r0 < r < |d|, và một cặp khác sao cho c = d\cdot q + r0 < -r < |d|.

Có thể xác định hai cặp hệ số Bézout nhỏ trên bằng cách chọn trong công thức trên để lấy phần dư của phép chia cho b/\gcd(a,b).

Giải thuật Euclid mở rộng luôn cho ta một trong 2 cặp tối thiểu này.

Ví dụ

Cho a = 12, b = 42 và gcd (12, 42) = 6. Thì ta có bổ đề Bézout sau (hệ số Bézout có màu đỏ khi là cặp nhỏ nhất và là màu xanh cho các cặp còn lại.):

: \begin{align} \vdots \ 12 &\times \color{blue}{-10} & + \;\; 42 &\times \color{blue}{3} &= 6 \ 12 &\times \color{red}{-3} & + \;\;42 &\times \color{red}{1} &= 6 \ 12 &\times \color{red}{4} & + \;\;42 &\times\color{red}{-1} &= 6 \ 12 &\times \color{blue}{11} & + \;\;42 &\times \color{blue}{-3} &= 6 \ 12 &\times \color{blue}{18} & + \;\;42 &\times \color{blue}{-5} &= 6 \ \vdots \end{align}

Chứng minh

Cho hai số nguyên và , đặt S={ax+by \mid x,y\in\mathbb{Z}}. Tập chứa các số nguyên dương và cũng chứa và . Cho

d = as + bt là số nguyên dương nhỏ nhất trong . Để chứng minh rằng là ước chung lớn nhất của và , ta chỉ cần chứng minh rằng là một ước số chung của và , bởi vì tất cả phần tử trong bao gồm cả là ước của ước chung lớn nhất. Thực tế, bất kỳ ước chung của và đều được chia hết bởi as + bt=d, do đó không thể lớn hơn .

Phép chia có dư của cho có thể ký hiệu :a=d\cdot q+r\quad\text{với}\quad 0\le r<d. Số dư nằm trong tập do : \begin{align} r & = a - q\cdot d \ & = a - q\cdot (a\cdot s+b\cdot t)\ & = a\cdot (1-q\cdot s) - b\cdot q\cdot t. \end{align}

Khi là số nguyên dương nhỏ nhất trong thì phần dư cần phải bằng 0, suy ra là một ước của . Tương tự cũng là một ước số của , ta có điều cần chứng minh.

Tổng quát

Với nhiều hơn hai số nguyên

Có thể mở rộng bổ đề Bézout với nhiều hơn hai số nguyên: nếu :\gcd(a_1, a_2, \ldots, a_n) = d

thì có các số nguyên x_1, x_2, \ldots, x_n sao cho

:d = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n

trong đó:

  • d là số nguyên dương nhỏ nhất có dạng này
  • mỗi số nguyên có dạng này là một bội số của d

Với đa thức

Với tập xác định lý tưởng cơ bản

Lịch sử

Nhà toán học người Pháp Étienne Bézout (1730–1783) đã chứng minh bổ đề này cho đa thức. Tuy nhiên người chứng minh định lý này cho các số nguyên là nhà toán học người Pháp khác Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581–1638).

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
Trong lý thuyết số cơ bản, **bổ đề Bézout** được phát biểu thành định lý sau: Nếu d = \gcd(a,b) là ước chung lớn nhất của hai số nguyên không âm ab thì:
Trong lý thuyết số, **bổ đề Euclid** là một bổ đề nắm một thuộc tính cơ bản của số nguyên tố, đó là:
**Bổ đề Euclid** — Nếu một số nguyên tố là ước của tích
Trong toán học, **bổ đề** là một giả thuyết đã được chứng minh hoặc chắc chắn sẽ được chứng minh dùng làm nền tảng để từ đó các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
thumb|[[Căn đơn vị thứ 5 trong mặt phẳng tạo thành một nhóm dưới phép nhân. Mỗi phần tử không đơn vị đều là phần tử sinh của nhóm.]] Trong đại số trừu tượng, **tập sinh
thumb|Việc tìm tất cả các [[bộ ba số Pythagoras|tam giác vuông có cạnh nguyên tương đương với việc giải phương trình Diophantos .]] Trong toán học, **phương trình Diophantos** là phương trình đa thức, thường
nhỏ|Chiếc bánh pizza được cắt nhỏ; mỗi miếng bánh là \frac1{8} chiếc bánh. **Phân số đơn vị** là phân số dương có tử số bằng 1, tức có dạng \frac1{n} với n
Trong toán học, các số nguyên _a_ và _b_ được gọi là **nguyên tố cùng nhau** (tiếng Anh: **coprime** hoặc **relatively prime**) nếu chúng có Ước số chung lớn nhất là 1. Ví dụ 5
**Gaspard Monge, bá tước Péluse** (9 tháng 5 năm 1746 – 28 tháng 7 năm 1818) là một nhà toán học, nhà cách mạng người Pháp và được coi là cha đẻ của hình học
thumb|right|[[Đường cong Tschirnhausen là một ví dụ về đường cong đại số bậc ba.]] Trong toán học, **đường cong phẳng đại số affin** là tập nghiệm của đa thức hai biến. **đường cong phẳng đại
thumb|Chân dung [[François Viète]] Trong toán học, **định lý Viète** hay **hệ thức Viète** (tiếng Pháp: _Relations de Viète_) do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
thumb|Thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai đoạn thẳng BA và DC, độ dài của cả hai đều là bội của một "đơn vị" độ dài chung. Vì độ dài
Ngày **31 tháng 3** là ngày thứ 90 (91 trong năm nhuận) trong lịch Gregory. Còn 275 ngày trong năm. ## Sự kiện ### Trong nước * 1028 – Loạn Tam vương (Vũ Đức Vương,
Ngày **27 tháng 9** là ngày thứ 270 (271 trong năm nhuận) trong lịch Gregory. Còn 95 ngày trong năm. ## Sự kiện *548 – Hầu Cảnh phát binh làm phản triều Lương tại Thọ
thumb|right|Chiếc đồng hồ với mô đun bằng 12 Trong toán học, **số học mô đun** là một hệ thống số học dành cho số nguyên. Trong số học mô đun, các con số được viết