✨Bao đóng phản xạ

Trong toán học, bao đóng phản xạ của quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X là quan hệ phản xạ nhỏ nhất trên X mà chứa R.

Lấy ví dụ, nếu X là tập các số phân biệt và x R y nghĩa là "x nhỏ hơn y", thì bao đóng phản xạ của quan hệ R là quan hệ "x nhỏ hơn hoặc bằng y".

Định nghĩa

Bao đóng phản xạ S của quan hệ R trên tập X được định nghĩa như sau

:$S\; =\; R\; \backslash cup\; \backslash left\{\; (x,\; x)\; :\; x\; \backslash in\; X\; \backslash right\}$

nghĩa là bao đóng phản xạ của R là hợp của R với quan hệ đơn vị của X.

Ví dụ

Xét ví dụ sau :$X\; =\; \backslash left\{\; 1,\; 2,\; 3,\; 4\; \backslash right\}$ :$R\; =\; \backslash left\{\; (1,1),\; (2,2),\; (3,3),\; (4,4)\; \backslash right\}$ vì quan hệ $R$ đã phản xạ sẵn rồi, nên bao đóng phản xạ của nó là chính nó.

Song, nếu bỏ đi bất kỳ cặp trong $R$, cặp đó sẽ lại được thêm vào trong bao đóng phản xạ. Ví dụ nếu như bỏ cặp $(3,\; 3)$ trong $R$ thì bao đóng phản xạ của nó sẽ là :$S\; =\; R\; \backslash cup\; \backslash left\{\; (x,x):\; x\; \backslash in\; X\; \backslash right\}\; =\; \backslash left\{\; (1,1),\; (2,2),\; (3,3),\; (4,4)\; \backslash right\}\; .$