✨Tích phân của hàm secant

Tích phân của hàm secant

Trong lượng giác, tích phân của hàm secant là một trong những "đề tài mở nổi bật giữa thế kỉ XVII", được giải vào năm 1668 nhờ James Gregory. Vào năm 1599, Edward Wright đã tính được tích phân này bằng giải tích số - ngày nay tích phân này được gọi là tổng Riemann. Ông áp dụng kết quả này vào bản đồ học để vẽ chính xác một bản đồ Mercator.

Isaac Barrow là người đã chứng minh được sự phỏng đoán này. Ông đã sử đụng phép đơn giản phân thức trong phép tính tích phân. Theo các ký hiệu ngày nay, chứng minh của Barrow được trình bày như sau:

: $\int \sec \theta \, d\theta = \int \frac{d\theta}{\cos\theta} = \int \frac{\cos\theta \, d\theta}{\cos^2\theta} = \int \frac{\cos\theta \, d\theta}{1 - \sin^2\theta} = \int \frac{du}{1 - u^2}$

Đến đây việc chứng minh chỉ còn là tìm nguyên hàm của các hàm phân thức bằng việc đơn giản phân thức:

: $\begin{align}
\int \frac{du}{1 - u^2} & = \int\frac{du}{(1-u)(1+u)} = \int \frac{1/2}{1+u} + \frac{1/2}{1-u}\,du \[10pt]
& = \frac12 \ln \left|1 + u\right| - \frac12 \ln \left|1 - u\right| + C = \frac12 \ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right| + C
\end{align}$

Hoán đổi thành hàm số đối với biến θ:

: $= \left{\begin{array}{l}
\dfrac12 \ln \left|\dfrac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right| + C \[15pt]
\ln\left|\sec\theta + \tan\theta\right| + C \[15pt]
\ln\left| \tan\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right) \right| + C
\end{array}\right}\text{ }$

(Dạng thứ ba có thể thu được bằng phép biến đổi sau) : $\begin{align}
\sec\theta=\frac{1}{\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)}
=\frac{1}{2\sin\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right)
\cos\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right)}
=\frac{\sec^2\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right)}
{2\tan\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right)}.
\end{align}$

Tích phân trên cũng có thể tính được bằng phép thế Weierstrass, nhưng nó tương đối phức tạp hơn so với các phương pháp trên.

Do trong phép chiếu Mercator thông thường, vĩ độ (φ) nằm giữa −π/2 and π/2 nên có thể viết đơn giản: : $y= \ln \tan!\left(\dfrac{\phi}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right).$

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Tích phân của hàm secant

Trong lượng giác, **tích phân của hàm secant** là một trong những "đề tài mở nổi bật giữa thế kỉ XVII", được giải vào năm 1668 nhờ James Gregory. Vào năm 1599, Edward Wright đã

💫 Danh sách tích phân với hàm lượng giác

Đây là danh sách tích phân (nguyên hàm) của các hàm lượng giác. Đối với tích phân của chứa hàm lượng giác và hàm mũ, xem Danh sách tích phân với hàm mũ. Đối với

💫 Phân phối xác suất

Trong toán học và thống kê, một **phân phối xác suất** hay thường gọi hơn là một **hàm phân phối xác suất** là quy luật cho biết cách gán mỗi xác suất cho mỗi khoảng

💫 Isaac Barrow

**Isaac Barrow** (1630-1677) là nhà toán học người Anh. Ông trở thành thầy giáo của nhà khoa học vĩ đại Isaac Newton khi Newton đi học đại học. Khi đó, Barrow đã chỉ bảo Newton

💫 Metro

thumb|[[Tàu điện ngầm Luân Đôn là hệ thống metro đầu tiên và lâu đời nhất trên thế giới, mở cửa từ năm 1863.]] thumb|[[Tàu điện ngầm Thành phố New York là hệ thống metro lớn