✨Ma trận bổ sung

Ma trận bổ sung

Trong đại số tuyến tính, một ma trận bổ sung (augmented matrix) hay ma trận mở rộng là một ma trận được lập bằng cách nối chắp các cột của hai ma trận cho trước, thường nhằm mục đích để tiến hành đồng thời các phép biến đổi hàng sơ cấp trên từng ma trận đã cho.

Cho hai ma trận và , trong đó $A =
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 \
2 & 0 & 1 \
5 & 2 & 2
\end{bmatrix}
, \quad
B =
\begin{bmatrix}
4 \
3 \
1
\end{bmatrix},$ ta có ma trận bổ sung (_A_|_B_) được viết là $(A|B) =
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 2 & 4 \\
2 & 0 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 2 & 1
\end{array}\right].$ Điều này rất hữu ích khi giải các hệ phương trình tuyến tính.

Đối với một số cho trước các ẩn, số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính chỉ phụ thuộc vào hạng của ma trận biểu diễn các hệ số của hệ và hạng của ma trận bổ sung tương ứng. Cụ thể hơn, theo định lý Rouché–Capelli, một hệ phương trình tuyến tính bất kỳ là không nhất quán hay vô nghiệm nếu hạng của ma trận bổ sung lớn hơn hạng của ma trận hệ số; tuy nhiên nếu hạng của hai ma trận trên là bằng nhau thì hệ phải có ít nhất một nghiệm. Nghiệm là duy nhất khi và chỉ khi hạng bằng số ẩn; nếu không thì nghiệm tổng quát của hệ có tham số tự do trong đó là hiệu số giữa số ẩn và hạng, do đó trong trường hợp này hệ có vô số nghiệm.

Một ma trận bổ sung cũng có thể được sử dụng để tìm nghịch đảo của một ma trận bằng cách gắn nó với ma trận đơn vị.

Tìm nghịch đảo của một ma trận

Cho là một ma trận vuông 2×2 $C =
\begin{bmatrix}
1 & 3 \
-5 & 0
\end{bmatrix}.$ Để tìm nghịch đảo của C ta lập ma trận (_C_|_I_) trong đó I là ma trận đơn vị 2×2. Sau đó ta tiến hành đơn giản hóa phần tương ứng với _C_ về ma trận đơn vị, chỉ bằng các phép biến đổi hàng sơ cấp trên (_C_|_I_): $(C|I) =
\left[\begin{array}{cc|cc}
1 & 3 & 1 & 0\\
-5 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]$ $(I|C^{-1}) =
\left[\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\
0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{15}
\end{array}\right],$ ta được phần bên phải chính là nghịch đảo của ma trận đã cho.

Sự tồn tại của nghiệm và số nghiệm

Xét một hệ phương trình tuyến tính: $\begin{align}
x + y + 2z &= 2 \
x + y + z &= 3 \
2x + 2y + 2z &= 6.
\end{align}$ Ma trận hệ số là $A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 \
1 & 1 & 1 \
2 & 2 & 2 \
\end{bmatrix},$ và ma trận bổ sung là $(A|B) =
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 1 & 3 \\
2 & 2 & 2 & 6
\end{array}\right].$ Bởi hai ma trận trên đều có hạng bằng nhau và bằng 2 nên tồn tại ít nhất một nghiệm; và do hạng của chúng ít hơn số ẩn bằng 3 nên hệ sẽ có vô số nghiệm.

Ngược lại, xét hệ sau $\begin{align}
x + y + 2z &= 3 \
x + y + z &= 1 \
2x + 2y + 2z &= 5.
\end{align}$ Ma trận hệ số là $A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 \
1 & 1 & 1 \
2 & 2 & 2 \
\end{bmatrix},$ và ma trận bổ sung là $(A|B) = \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 3 \
1 & 1 & 1 & 1 \
2 & 2 & 2 & 5
\end{array}\right].$ Trong ví dụ này ma trận hệ số có hạng bằng 2 trong khi ma trận bổ sung có hạng bằng 3; do đó hệ phương trình tuyến tính là vô nghiệm. Thật vậy, số hàng độc lập tuyến tính tăng đã làm hệ phương trình này không nhất quán.

Nghiệm của một hệ phuơng trình tuyến tính

Ma trận bổ sung được sử dụng trong đại số tuyến tính để biểu diễn các hệ số và vectơ nghiệm của từng tập phương trình. Đối với tập phương trình $\begin{align}
x + 2y + 3z &= 0 \
3x + 4y + 7z &= 2 \
6x + 5y + 9z &= 11
\end{align}$ từ các số hạng hệ số và hằng số ta có hai ma trận $A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \
3 & 4 & 7 \
6 & 5 & 9
\end{bmatrix}
, \quad
B = \begin{bmatrix}
0 \
2 \
11
\end{bmatrix},$ và do đó ma trận bổ sung là $(A|B) =
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 0 \\
3 & 4 & 7 & 2 \\
6 & 5 & 9 & 11
\end{array}\right].$

Chú ý rằng hạng của ma trận hệ số bằng 3 và bằng hạng của ma trận bổ sung, do đó có ít nhất một nghiệm tồn tại; và do hạng đó cũng bằng số ẩn, hệ chỉ có đúng một nghiệm.

Để thu được nghiệm này, ta có thể tiến hành các phép biến đổi hàng trên ma trận bổ sung cho đến khi phần bên trái trở thành ma trận đơn vị, ta được $\left[\begin{array}{ccc|r}
1 & 0 & 0 & 4 \
0 & 1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 1 & -2 \
\end{array}\right],$ do đó nghiệm của hệ là .

👁️ 107 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Ma trận bổ sung

Trong đại số tuyến tính, một **ma trận bổ sung** (augmented matrix) hay **ma trận mở rộng** là một ma trận được lập bằng cách nối chắp các cột của hai ma trận cho trước,

💫 Ma trận chuyển vị

thumb|right|Ma trận chuyển vị **A**^T của ma trận **A** có thể có được bằng cách đảo các phần tử của nó theo đường chéo chính. Lặp lại bước trên đối với ma trận chuyển vị

💫 Phân rã ma trận

Trong phân ngành đại số tuyến tính của toán học, **phân rã** **ma trận** hoặc **phân tích nhân tử ma trận** là việc phân tích nhân tử của ma trận thành một tích của nhiều

💫 Ma trận thưa

right|thumb|Một ma trận thưa thớt thu được khi giải một [[phương pháp phần tử hữu hạn trong 2 chiều. Các phần tử không có giá trị bằng 0 được hiển thị bằng màu đen.]] Trong

💫 [AUTHENTIC DBH NHẬP KHẨU USA] - Serum bổ sung collagen phục hồi da lão hóa - DBH Collagen Stemedic Serum

Thông tin sản phẩmGiúp thúc đẩy sự trao đổi chất của tế bào, tăng độ đàn hồi, làm chậm sự lão hóa da, làm chậm sự xuất hiện của các nếp nhăn li ti trên

💫 Lỗi tràn bộ nhớ đệm

Trong các lĩnh vực an ninh máy tính và lập trình, một **lỗi tràn bộ nhớ đệm** hay gọi tắt là **lỗi tràn bộ đệm** (tiếng Anh: _buffer overflow_) là một lỗi lập trình có

💫 Cách bổ sung collagen hiệu quả nhất. Hướng dẫn bổ sung collagen giúp cơ thể hấp thu tốt nhất

Bổ sung collagen mang đến nhiều lợi ích, trong đó nổi bật nhất là giúp da đàn hồi và nuôi dưỡng da săn chắc hiệu quả. Collagen thực chất chính là một loại protein, chứa khoảng 1/3 hàm

💫 Mỡ trăn dưỡng ẩm da mặt tay chân body

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MỠ TRĂN TRONG DƯỠNG DA Mỡ trăn vốn được biết tới trong dân gian về việc trị bỏng, nhưng thực ra mỡ trăn có rất nhiều công dụng trong làm đẹp,

💫 Bột Canxi Cá Tuyết Bone’s Calcium DORAEMON FINE JAPAN bổ sung Canxi phát triển chiều cao gói 140g

► Bột Canxi Cá Tuyết Bone’s Calcium DORAEMON FINE JAPAN bổ sung Canxi phát triển chiều cao gói 140g Phiên bản giới hạn Canxi Cá Tuyết vị Socola – Bone’s Calcium DORAEMON Fine Bone’s Calcium

💫 [Vị trái cây tổng hợp] Bột Canxi cá tuyết Bone's Calcium for Kids Vegetable Plus FINE JAPAN bổ sung Canxi & rau củ quả gói 128g

[Vị trái cây tổng hợp] Bột Canxi cá tuyết Bone's Calcium for Kids Vegetable Plus FINE JAPAN bổ sung Canxi & rau củ quả gói 128g Bone's Calcium for Kids Vegetable Plus là sản phẩm

💫 Viên nhai Canxi Cá Tuyết Bone’s Calcium Tablets for Kids FINE JAPAN bổ sung Canxi phát triển chiều cao

► Viên nhai Canxi Cá Tuyết Bone’s Calcium Tablets for Kids FINE JAPAN bổ sung Canxi phát triển chiều cao ■ Viên nhai vị Socola thơm ngon, dễ dàng bổ sung thêm Canxi cho trẻ

💫 Tinh Chất AHC Capture Solution Prime Calming Ampoule giảm viêm sưng mụn - NAC BEAUTY

Màu hồng- Glow: dưỡng da căng bóng- Sản phẩm bảo gồm thành phần tự nhiên là Mận Murunga. Đây là loại mận được biết đến nhiều hơn 100 lần trong Vitamin C so với cam.

💫 Liên Đoàn Luật Sư Việt Nam Tổ Chức Hội Thảo Góp ý Dự Thảo Sửa Đổi, Bổ Sung Một Số Điều Hiến Pháp Năm 2013

Ngày 24/5/2025, tại Hà Nội, Liên đoàn Luật sư Việt Nam đã tổ chức Hội thảo “Góp ý dự thảo sửa đổi, bổ sung một số điều của Hiến pháp nước Cộng hòa xã hội

💫 Phụ Nữ Nên Bổ Sung Dưỡng Chất Gì Sau Tuổi 30+ ?

Bài viết đề cập 5 nhóm dưỡng chất quan trọng gồm collagen peptide, estrogen & phytoestrogen, chất chống oxy hóa, khoáng chất & vitamin, cùng thảo dược quý giúp cân bằng nội tiết, chống lão

💫 Sách Chỉ Dẫn Áp Dụng Bộ Luật Hình Sự năm 2015 sửa đổi bổ sung năm 2017 - TS. Trần Văn Biên - TS. Lê Quang Thành - V1478D

Nhà sách Nam Việt – Namvietbook xin trân trọng giới thiệu sách CHỈ DẪN ÁP DỤNG BỘ LUẬT HÌNH SỰ năm 2015 sửa đổi, bổ sung năm 2017 - TS. Trần Văn Biên - TS.

💫 Bộ sách Chỉ dẫn áp dụng Bộ luật dân sự 2015 và Chỉ dẫn áp dụng Bộ luật hình sự 2015 sửa đổi bổ sung 2017

Nhà sách Nam Việt – Namvietbook xin trân trọng giới thiệu bộ sách: Cuốn 1: Chỉ Dẫn Áp Dụng Bộ Luật Hình Sự năm 2015 sửa đổi, bổ sung năm 2017 - TS. Trần Văn

💫 [CHÍNH HÃN G- FreeShip ] Sữa tắm trắng da hương nước hoa quyến rũ ngừa mụn và bổ sung collagen / Sữa trắm xích 500 ml có vòi - Sữa tắm nước hoa tesori sữa tắm tesori ý sua tam xich sua tam trang da sua tam nuoc hoa - Shopping vip

CHÚ Ý: Sữa tắm xích/ Sữa tắm nước hoa/ Sữa tắm trắng da Tesori có hàng rẻ tiền không chính hãng và kém chất lượng, mùi hương hắc mà tắm bị ngứa bạn nhé. Đây

💫 [FreeShip - HÀNG CHÍNH HÃNG] Sữa tắm trắng da hương nước hoa quyến rũ bổ sung collagen/ Sữa trắm xích 500 ml có vòi Sữa tắm nước hoa Sữa tắm tesori ý - Sữa tắm sích Sua tam xich sua tam nuoc hoa sua tam trang da-Shopping vip

💫 Súng trường tự nạp L1A1

**L1A1 Self-Loading Rifle,** còn được gọi là **SLR** (Self-Loading Rifle), chỉ định **C1A1** với Quân đội Canada **(C1)** hay ở Mỹ là **"mẫu inch" FAL,** là một phiên bản Anh của Súng trường chiến đấu

💫 Sữa dưỡng ẩm bổ sung năng lượng và làm khỏe da Tsukika

MÔ TẢ SẢN PHẨMSữa dưỡng ẩm Tsukika thế hệ mới với chiết xuất hoa Sơn Chi giàu dưỡng chất, giúp bổ sung năng lượng và duy trì sự tươi trẻ của làn da. Từng giọt

💫 Sách Bộ Luật Hình Sự năm 2015 sửa đổi, bổ sung năm 2017, 2025 và Các Văn Bản Hướng Dẫn Thi Hành (V2593D)

Nhà sách Nam Việt – Namvietbook xin trân trọng giới thiệu cuốn sách: Bộ Luật Hình Sự năm 2015 sửa đổi, bổ sung năm 2017, 2025 và Các Văn Bản Hướng Dẫn Thi Hành Sách

💫 Bình luận Khoa học Bộ luật Hình Sự năm 2015, sửa đổi bổ sung năm 2017 - TS. Trần Văn Biên

Nhà sách Nam Việt – Namvietbook xin trân trọng giới thiệu sách BÌNH LUẬN KHOA HỌC BỘ LUẬT HÌNH SỰ năm 2015 sửa đổi, bổ sung năm 2017 (TS. Trần Văn Biên, TS. Đinh Thế Hưng - Viện

💫 [Viên uống nội địa Nhật Bao check] Viên uống bổ sung sắt DHC 60 ngày

Viên uống bổ sung sắt DHC 60 ngày Nhật Bản Viên uống bổ sung sắt DHC với hàm lượng sắt heme là 10mg (sắt từ động vật, rất dễ hấp thu) sẽ cung cấp đủ

💫 Ma trận: Hồi sinh

**_Ma trận: Hồi sinh_** (tựa gốc tiếng Anh: **The Matrix Resurrections**) là phim điện ảnh Mỹ thuộc thể loại hành động khoa học viễn tưởng, do Lana Wachowski làm biên kịch, đạo diễn và sản

💫 [HCM]Viên Uống Super Marine Collagen 5 in 1 Tasman Sea Của Úc 100 viên - Date 6/ 2022

Cuộc sống bận rộn khiến chị em phụ nữ chúng ta không có nhiều thời gian để chăm sóc tốt cho sức khỏe cũng như sắc đẹp của mình từ đó làm cho quá trình

💫 Kem nền bổ sung Collagen và Vàng The Face Shop Gold Collagen Ampoule Foundation 40ml..

Kem nền bổ sung Collagen và Vàng The Face Shop Gold Collagen Ampoule Foundation 40ml- Xuất xứ: Hàn Quốc- Hãng sản xuất: The Face Shop- Quy cách: Chai bấm 40ml1. Công dụng:- Với thiết kế

💫 Kem nền bổ sung Collagen và Vàng The Face Shop Gold Collagen Ampoule Foundation 40ml lyo

Kem nền bổ sung Collagen và Vàng The Face Shop Gold Collagen Ampoule Foundation 40mlXuất xứ: Hàn QuốcHãng sản xuất: The Face ShopQuy cách: Chai bấm 40ml1. Công dụng:- Với thiết kế đầy sang trọng,

💫 Kem nền bổ sung Collagen và Vàng The Face Shop Gold Collagen Ampoule Foundation 40ml lyo

💫 Tinh chất dưỡng da Hana Diamond Premium Ampoule dưỡng trắng mịn da Hàn Quốc

Tinh chất dưỡng da Diamond Premium Ampoule với công thức cải tiến vượt trội so với các loại serum thông thường tích hợp “đa công dụng” mang đến giải pháp tối ưu cho làn da

💫 Tinh chất dưỡng da Hana Diamond Premium Ampoule dưỡng trắng mịn da Hàn Quốc

💫 Kem nền bổ sung Collagen và Vàng The Face Shop Gold Collagen Ampoule Foundation 40ml..

MÔ TẢ SẢN PHẨMKem nền bổ sung Collagen và Vàng The Face Shop Gold Collagen Ampoule Foundation 40mlXuất xứ: Hàn QuốcHãng sản xuất: The Face ShopQuy cách: Chai 40ml1. Công dụng:- Với thiết kế đầy

💫 Tinh Chất Dưỡng Da Diamond Premium Ampoule

Với công thức cải tiến vượt trội hơn hẳn so với các loại tinh chất serum dưỡng da thông thường, tinh chất dưỡng daDiamond Premium AmpouleRiori hoạt động theocơ chế 4 tác độnggiúp đem lại

💫 Kem nền bổ sung Collagen và Vàng The Face Shop Gold Collagen Ampoule Foundation 40ml..

💫 Bộ Hộp Bão Táp Triều Trần (Bộ 6 Tập)_PNU

Bộ Hộp Bão Táp Triều Trần (Bộ 6 Tập) Trong lịch sử Việt Nam, triều Trần được xem là một triều đại huy hoàng vào bậc nhất với võ công, văn hiến và nhiều nhân

💫 Sách Luật Dược sửa đổi, bổ sung và Các Quy Định Mới Nhất Dành Cho Ngành Dược, Dược Sĩ, Nhà Thuốc - V2507D

Nhà sách Nam Việt – Namvietbook xin trân trọng giới thiệu cuốn sách: Luật Dược sửa đổi, bổ sung và Các Quy Định Mới Nhất Dành Cho Ngành Dược, Dược Sĩ, Nhà Thuốc Sách Luật

💫 Viên uống bổ não DHC bổ sung DHA và EPA giúp tăng cường trí nhớ

Não bộ là cơ quan quan trọng bậc nhất của cơ thể con người. Chính vì vậy việc duy trì, bảo vệ sức khỏe bộ não đóng vai trò vô cùng quan trọng, bổ sung

💫 Bcaa Hydro Mới 90 lần dùng - Bổ sung Bcaa và Eaa - Hỗ phát triển và phục hồi cơ Bcaa Prosupps