✨Lãi kép

Lãi suất kép là việc cộng dồn lãi suất vào tổng số tiền gốc của một khoản vay hoặc tiền gửi, hay nói cách khác, là lãi suất trên lãi suất (thay vì lãi đơn chỉ tính trên số nợ gốc). Đó là kết quả của việc tái đầu tư lãi suất thay vì chi trả nó, để lãi suất trong kỳ tiếp theo được tính trên tổng số tiền gốc cộng với lãi suất đã tích lũy trước đó. Lãi suất kép có thể dẫn đến sự tăng trưởng hoặc suy giảm mũ của số tiền gốc. Lãi kép hiểu đơn giản là "lãi mẹ đẻ lãi con", "lãi cộng dồn theo cấp số nhân", lãi suất cắt cổ (là một kiểu tính lời khi cho vay nặng lãi). Một tài khoản ngân hàng, ví dụ, có thể có lãi kép hàng năm: trong trường hợp này, một tài khoản với 1000 đô-la tiền vốn gốc ban đầu và lãi suất 20% mỗi năm sẽ có số dư 1200 đô-la vào cuối năm đầu tiên, 1440 đô-la vào cuối năm thứ hai, và cứ như vậy.

thumb|Hiệu quả của việc hưởng tiền lãi hàng năm 20% trên một đầu tư ban đầu 1.000 đô-la với các tần suất tính lãi kép khác nhau

Để xác định một lãi suất đầy đủ, và cho phép so sánh nó với các lãi suất khác, lãi suất và tần suất tính lãi kép phải được cung cấp. Vì hầu hết mọi người thích nghĩ về lãi suất này như là một tỷ lệ phần trăm hàng năm, nhiều chính phủ yêu cầu các tổ chức tài chính cung cấp mức lãi suất kép hàng năm tương đương trên tiền gửi hoặc tiền ứng trước.

Ví dụ, lãi suất hàng năm cho một khoản vay với lãi vay 1% mỗi tháng là khoảng 12,68% một năm (1.01¹² − 1).

Lãi suất hàng năm tương đương này có thể được gọi là tỷ lệ phần trăm hàng năm (APR), lãi suất tương đương hàng năm (AER), lãi suất hiệu quả, lãi suất hàng năm hiệu quả, và các thuật ngữ khác. Khi một khoản phí đã được tính trước để có được một khoản vay, APR thường tính rằng chi phí cũng như lãi kép trong việc chuyển đổi sang lãi suất tương đương. Những yêu cầu chính phủ này hỗ trợ người tiêu dùng để so sánh chi phí thực tế của khoản vay dễ dàng hơn.

Đối với bất kỳ lãi suất nhất định và tần suất kép nào, đều có một lãi suất "tương đương" cho một tần suất kép khác nào đó tồn tại.

Lãi kép có thể được đối chiếu với lãi đơn, trong đó tiền lãi không được nhập tiền gốc (không có lãi kép). Lãi kép là tiêu chuẩn trong tài chính và kinh tế, và lãi đơn được sử dụng thường xuyên (mặc dù các sản phẩm tài chính nhất định có thể chứa các thành phần của lãi đơn).

Thuật ngữ

Tác động của việc tính lãi kép phụ thuộc vào tần suất mà tiền lãi được tính lãi kép và lãi suất định kỳ được áp dụng. Vì vậy, để xác định chính xác số tiền phải trả theo hợp đồng pháp lý với tiền lãi, tần suất tính lãi kép (hàng năm, nửa năm, hàng quý, hàng tháng, hàng ngày, vv) và lãi suất phải được xác định. Các quy ước khác nhau có thể được sử dụng giữa các nước, nhưng trong tài chính và kinh tế học các tập quán sau đây là phổ biến:

Lãi suất định kỳ: tiền lãi mà được tính phí (và được hợp gốc sau đó) cho từng giai đoạn, chia cho số tiền gốc. Lãi suất định kỳ được sử dụng chủ yếu cho các tính toán, và hiếm khi được sử dụng để so sánh.

Lãi suất danh nghĩa hàng năm hoặc lãi suất danh nghĩa được định nghĩa là lãi suất định kỳ nhân với số thời kỳ tính lãi kép mỗi năm. Ví dụ, một lãi suất hàng tháng là 1% tương đương với lãi suất danh nghĩa hàng năm là 12%.

Lãi suất hàng năm hiệu quả: điều này phản ánh lãi suất này hiệu quả như nếu việc tính lãi kép hàng năm được áp dụng: nói cách khác, nó là tổng số tiền lãi cộng dồn mà có thể được trả đến cuối của một năm, chia cho số tiền gốc.

Các nhà kinh tế thường thích sử dụng lãi suất hàng năm hiệu quả để cho phép so sánh. Trong tài chính và thương mại, lãi suất hàng năm danh nghĩa tuy nhiên có thể là một trích dẫn thay thế. Khi trích dẫn cùng với tần suất tính lãi kép, một khoản vay với lãi suất hàng năm danh nghĩa đã cho được xác định đầy đủ (ảnh hưởng của tiền lãi suất đối với một kịch bản cho vay cụ thể có thể được xác định chính xác), nhưng lãi suất danh nghĩa không thể được so sánh trực tiếp với các khoản vay có tần suất tính lãi kép khác nhau.

Các khoản vay và tài trợ có thể có các tính phí "không lãi" khác, và các thuật ngữ trên không cố gắng để nắm bắt những sự khác biệt này. Các thuật ngữ khác như tỷ lệ phần trăm hàng năm và lợi suất phần trăm hàng năm có thể có các định nghĩa hợp pháp cụ thể và có thể hoặc không thể được so sánh, tùy thuộc vào thẩm quyền.

Việc sử dụng các thuật ngữ trên (và các thuật ngữ tương tự khác) có thể là không phù hợp, và thay đổi theo tùy chỉnh địa phương hoặc nhu cầu tiếp thị, cho đơn giản hoặc vì các lý do khác.

Các ngoại lệ

• Tín phiếu T của Mỹ và Canada (nợ Chính phủ ngắn hạn) có một quy ước khác. Tiền lãi của chúng được tính là (100 − P)/ Pbnm, ở đây P là giá thanh toán. Thay vì bình thường hóa nó cho một năm, tiền lãi được tính tỷ lệ theo số ngày t: (365/t)×100. (Xem quy ước tính ngày).
• Lãi vay trên trái phiếu doanh nghiệp và trái phiếu chính phủ thường phải trả hai lần mỗi năm. Số tiền lãi thanh toán (mỗi sáu tháng) là lãi suất công bố chia cho hai (nhân với số tiền gốc). Lãi suất gộp hàng năm là cao hơn mức công bố.
• Các cho vay thế chấp Canada nói chung là tính lãi kép nửa năm với các khoản thanh toán hàng tháng (hoặc thường xuyên hơn).
• Các cho vay thế chấp Mỹ sử dụng một cho vay trả góp, tiền lãi không tính kép. Với các khoản vay này, một lịch trình trả góp được sử dụng để xác định cách áp dụng các thanh toán đối với số tiền gốc và lãi vay. Tiền lãi tạo ra trên các khoản vay này không được thêm vào số tiền gốc, nhưng thay vào đó được trả hết hàng tháng như các thanh toán được áp dụng.
• Đôi khi để đơn giản trong toán học, ví dụ trong định giá trị các phái sinh để sử dụng lãi kép liên tục, nó là giới hạn khi số thời kỳ tính lãi kép tiến tới không. Việc tính lãi kép liên tục trong định giá các công cụ này là một hệ quả tự nhiên của tính toán Itō, trong đó các phái sinh có giá trị ở tần suất ngày càng tăng, cho đến khi giới hạn được tiếp cận và phái sinh có giá trị trong thời gian liên tục.

Tính toán

Tính giản lược

Công thức được thể hiện chi tiết hơn tại giá trị thời gian của tiền.

Trong các công thức dưới đây, i là lãi suất hiệu quả cho mỗi thời kỳ. FV và PV đại diện cho các giá trị tương lai và hiện tại của một khoản tiền. n đại diện cho số giai đoạn.

Đây là những công thức cơ bản nhất: :$FV\; =\; PV\; (1+i)^n\backslash ,$ Công thức trên tính toán giá trị tương lai (FV) của giá trị hiện tại của một đầu tư (PV) tích lũy với lãi suất cố định (i) cho n giai đoạn. :$PV\; =\; \backslash frac\; \{FV\}\; \{\backslash left(1+i\; \backslash right)^n\}\backslash ,$ Công thức trên tính toán giá trị hiện tại (PV) sẽ cần là bao nhiêu để tạo ra một giá trị nhất định trong tương lai (FV) nếu lãi suất (i) dồn tích cho n giai đoạn. :$i\; =\; \backslash left(\backslash frac\; \{FV\}\; \{PV\}\; \backslash right)^\backslash frac\; \{1\}\; \{n\}-\; 1$ Công thức trên tính toán lãi suất kép đạt được nếu đầu tư ban đầu PV cho ra giá trị của FV sau n giai đoạn dồn tích. :$n\; =\; \backslash frac\; \{\backslash log(FV)\; -\; \backslash log(PV)\}\; \{\backslash log(1\; +\; i)\}$ Công thức trên tính toán số lượng thời kỳ cần thiết để có được FV từ PV đã cho và lãi suất (i). Hàm lô-ga-rít có thể ở bất kỳ cơ số nào, ví dụ lô-ga-rít tự nhiên (ln), miễn là các cơ số phù hợp được sử dụng trong suốt tất cả các tính toán.

Lãi kép

Công thức tính lãi kép hàng năm là :$A\; =\; P\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{r\}\{n\}\backslash right)^\{nt\}$

Ở đây,

• A = giá trị tương lai
• P = số tiền gốc (đầu tư ban đầu)
• r = lãi suất danh nghĩa hàng năm
• n = số lần tiền lãi được nhập gốc mỗi năm
• t = số năm tiền được mượn

Ví dụ sử dụng: Số tiền 1500.00 đô-la được gửi tại một nhà băng chi trả lãi suất hàng năm 4.3%, được nhập gốc hàng quý. Tính số dư sau 6 năm.

A. Sử dụng công thức bên trên, với P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 4, và t = 6:

:$A=1500\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{0.043\}\{4\}\backslash right)^\{4\; \backslash times\; 6\}\; =1938.84$

Như vậy, số dư sau 6 năm xấp xỉ 1,938.84 đô-la. Lãi kép có thể được tính bằng cách trừ số tiền gốc khỏi số dư này.

Tính lãi kép định kỳ

Hàm số lượng cho lãi kép là một hàm mũ theo thời gian.

• $t$ = Tổng thời gian theo năm
• $n$ = Số thời kỳ tính lãi kép mỗi năm (lưu ý rằng tổng số thời kỳ tính lãi kép là $n\; \backslash cdot\; t$)
• $r$ = Lãi suất hàng năm danh nghĩa biểu diễn dưới dạng thập phân. chẳng hạn: 6% = 0.06
• $\backslash lfloor\; nt\; \backslash rfloor$ có nghĩa là _nt_ được làm tròn xuống giá trị nguyên gần nhất.

Khi n tăng lên, tỉ lệ này tiến tới giới hạn trên của e^{r − 1}. Tỉ lệ này được gọi là lãi kép liên tục, xem bên dưới.

Vì số tiền gốc A(0) chỉ đơn giản là một hệ số, nó thường được bỏ đi cho đơn giản, và hàm tích lũy kết quả được sử dụng trong lý thuyết tiền lãi thay thế. Các hàm tích lũy cho lãi đơn và lãi kép được liệt kê dưới đây:

:$a(t)=1+t\; r\backslash ,$ :$a(t)\; =\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\; \{r\}\; \{n\}\backslash right)\; ^\; \{nt\}$

Lưu ý: A(t) là hàm số lượng và a(t) là hàm tích lũy.

Một cách khác dễ hiểu hơn đó là: Gửi tiền vào ngân hàng, ngoài thể thức lãi đơn (tức là tiền lãi của kì trước không được tính vào vốn của kì kế tiếp, nếu đến kì hạn người gửi không rút tiền lãi ra), còn có thể thức lãi kép định kình. Theo thể thức này, nếu đến kì hạn người gửi không rút tiền ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kì thì dễ thấy sau N kì số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi là:

Giải: https://www.mathvn.com/2017/08/cong-thuc-lai-kep-trong-bai-toan-lai.html#google_vignette [https://www.mathvn.com/2017/08/cong-thuc-lai-kep-trong-bai-toan-lai.html#google_vignette]giữa|nhỏ|446x446px|Chứng minh công thức lãi kép định kỳ.Ví dụ sử dụng:

Theo thể thức lãi kép định kỳ, một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng.

a. Nếu theo kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56%/năm thì sau 2 năm người đó thu được số tiền là:; (*)

Cụ thể hơn: Nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu là A với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép thì sau N năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là $A(1+r)^N$ (lãi kép định kỳ).

Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi năm là r thì lãi suất mỗi kì là $r\backslash div\; m$ và số tiền thu được sau N năm (hay sau Nm kì) là $A[1+\{r\backslash div\; m\}]^\{Nm\}$.

Ví dụ thực tế: Sự tăng dân số được tính theo công thức (*), trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32%, năm 1998, dân số thế giới vào khoảng 5926,5 triệu người. Khi đó, dự đoán dân số thế giới năm 2008 (10 năm sau) sẽ là: ==== giữa|nhỏ|447x447px|Chứng Minh Công ThứcVí dụ sử dụng công thức: Với số vốn 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất 8%/năm thì sau 2 năm, số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là: $100.e^\{2.0,08\}\backslash thickapprox\; 117,351087$ (triệu đồng).

Về thực chất, sự tăng trưởng (hay suy giảm) mũ được đặc trưng bởi một hàm số mà đạo hàm của nó tại mỗi điểm đều tỉ lệ với giá trị của hàm số tại điểm đó với hệ số tỉ lệ không đổi, tức là hàm số: $y\; =\; f(x)$ thõa mãn điều kiện:

Giả sử có một lượng phóng xạ ban đầu là $u\_0$, lượng chất phóng xạ còn lại tại thời điểm t là:

Trong một đoạn văn, Thánh Kinh chỉ ra việc tính tiền lãi theo cách sau đây:

Qur'an đề cập một cách rõ ràng đến lãi kép như một tội lớn. Cho vay nặng lãi (lãi suất áp bức), được biết đến trong tiếng Ả Rập là "riba", được coi là sai:

Cuốn sách của Richard Witt Những câu hỏi số học, xuất bản năm 1613, là một bước ngoặt trong lịch sử của lãi kép. Nó đã được hoàn toàn dành cho đối tượng (trước đây gọi là anatocism), trong khi các nhà văn trước đó đã thường chỉ dành cho lãi kép chỉ trong một chương ngắn trong các sách giáo khoa toán học. Cuốn sách Witt đưa các bảng dựa trên 10% (lãi suất tối đa cho các khoản vay được phép) và các lãi suất khác cho các mục đích khác nhau, chẳng hạn như xác định giá trị hợp đồng thuê tài sản. Witt là một học giả toán học London và cuốn sách của ông là đáng chú ý cho rõ ràng của nó thể hiện, chiều sâu của cái nhìn sâu sắc và chính xác của tính toán, với 124 ví dụ đã làm việc.

Mặt khác, nhiều người trong giới tài chính, học thuật,... lại cho rằng lãi kép lại là một thứ tuyệt diệu và là một kì quan của thế giới: