✨Đường cong bậc ba Tschirnhausen

thumb|Đường cong Tschirnhausen trong trường hợp a = 1 Trong hình học, đường cong bậc ba Tschirnhausen, đường cong bậc ba Tschirnhaus, hoặc gọi tắt đi là đường cong Tschirnhausen là đường cong phẳng, định nghĩa trong dạng mở trái theo phương trình cực sau: :$r\; =\; a\backslash sec^3(\backslash theta/3)$ trong đó sec là hàm secant.

Lịch sử

Đường cong được nghiên cứu bởi von Tschirnhaus, de L'Hôpital, và Catalan. Nó được đặt tên là đường cong bậc ba Tschirnhausen cubic trong bài viết năm 1900 paper của R.C.Archibald, và đôi khi được gọi là đường cong bậc ba của L'Hôpital hay của Catalan.

Các phương trình khác

Đặt $t=\backslash tan(\backslash theta/3)$. Sau đó áp dụng công thức De Moivre ra :$x=a\backslash cos\; \backslash theta\; \backslash sec^3\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{3\}\; =\; a\; \backslash left(\backslash cos^3\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{3\}\; -\; 3\; \backslash cos\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{3\}\; \backslash sin^2\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{3\}\; \backslash right)\; \backslash sec^3\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{3\}=\; a\backslash left(1\; -\; 3\; \backslash tan^2\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{3\}\backslash right)$ ::$=\; a(1\; -\; 3t^2)$ :$y=a\backslash sin\; \backslash theta\; \backslash sec^3\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{3\}\; =\; a\; \backslash left(3\; \backslash cos^2\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{3\}\backslash sin\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{3\}\; -\; \backslash sin^3\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{3\}\; \backslash right)\; \backslash sec^3\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{3\}=\; a\; \backslash left(3\; \backslash tan\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{3\}\; -\; \backslash tan^3\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{3\}\; \backslash right)$ ::$=\; at(3-t^2)$ dạng tham số của đường cong. Tham số t có thể bị loại dễ dàng bằng cách dùng phương trình tọa độ :$27ay^2\; =\; (a-x)(8a+x)^2$.

Nếu phương trình được tịnh tiến ngang bởi 8a và dấu của các biến được đổi, thì các phương trình của dạng mở phải sẽ là :$x\; =\; 3a(3-t^2)$ :$y\; =\; at(3-t^2)$

và trong toạ độ Descartes :$x^3=9a\; \backslash left(x^2-3y^2\; \backslash right)$. tương ứng với đó là phương trình cực sau :$r=9a\; \backslash left(\backslash sec\; \backslash theta\; -\; 3\backslash sec\; \backslash theta\; \backslash tan^2\; \backslash theta\; \backslash right)$.

Dạng tổng quát

Đường cong bậc ba Tschirnhausen là đường xoắn sóng sin với n = −1/3.