✨Tiệm cận (giải tích)

Trong giải tích toán học, tiệm cận là một thuật ngữ mô tả các hành vi tại vô cùng.

Ví dụ, giả sử ta quan tâm đến thuộc tính của hàm khi rất lớn. Nếu , thì khi rất lớn, số hạng trở nên không đáng kể so với . Hàm được gọi là "tương đương tiệm cận với , khi ". Kí hiệu , cũng đọc là " tiệm cận đến ".

Một kết quả tiệm cận quan trọng trong toán học là định lý phân bố số nguyên tố. Gọi là hàm đếm số nguyên tố (không liên quan trực tiếp đến hằng số pi), tức là là số lượng số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng . Định lý phát biểu rằng

: $\backslash pi(x)\backslash sim\backslash frac\{x\}\{\backslash ln\; x\}.$

khi $x\backslash to\backslash infty$.

Định nghĩa

Cho trước các hàm và , ta xác định mối quan hệ

: $f(x)\; \backslash sim\; g(x)\; \backslash quad\; (\backslash text\{khi\; \}\; x\backslash to\backslash infty)$

nếu và chỉ nếu

: $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}\; =\; 1.$

Miền xác định của và có thể là bất kỳ tập hợp nào được sao cho giới hạn được xác định: ví dụ như tập số thực, tập số phức, tập số nguyên dương.

Ký hiệu tương tự cũng được sử dụng tại các vị trí giới hạn khác (khác vô cùng): ví dụ , , . Giới hạn nói chung là ngầm hiểu từ hoàn cảnh.

Trong trường hợp tiến tới 0 tại giới hạn, ta có một định nghĩa thay thế, sử dụng kí hiệu O nhỏ:

: $f(x)\; -\; g(x)\; =\; o(g(x)).$