✨Số Leyland

Theo lý thuyết số, số Leyland là một số có dạng

: $x^y\; +\; y^x$

Trong đó x và y là các số nguyên lớn hơn 1. Chúng được đặt theo tên của nhà toán học Paul Leyland. Một vài số Leyland đầu tiên là

: 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124 .

Điều kiện x và y đều lớn hơn 1 là quan trọng, vì nếu không có nó, mọi số nguyên dương sẽ là một số Leyland có dạng $x^1\; +\; 1^x$. Ngoài ra, do tính chất giao hoán của phép cộng, điều kiện x ≥ y thường được thêm vào để tránh trùng lặp tập hợp các số Leyland (vì vậy có 1 < y ≤ x ).

Số nguyên tố Leyland

Số nguyên tố Leyland là một số vừa là số Leyland vừa là số nguyên tố. Một vài số nguyên tố Leyland đầu tiên là:

: 17, 593, 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193, ...

tương ứng với

: 3² +2³, 9² +2⁹, 15² +2¹⁵, 21² +2²¹, 33² +2³³, 24⁵ +5²⁴, 56³ +3⁵⁶, 32¹⁵ +15³² .

Người ta cũng có thể cố định giá trị của y và xem xét chuỗi các giá trị x tạo ra các số nguyên tố Leyland, ví dụ x ² + 2 ^x là số nguyên tố đối với x = 3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759 ,. . . ( ).

Có một dự án được gọi là XYYXF để phân tích các số Leyland là hợp số .

Hiện tại, số Leyland lớn nhất có thể là số nguyên tố là 81650 ⁵⁴³⁶⁹ +54369 ⁸¹⁶⁵⁰ (386.642 chữ số). Số này được tìm thấy bởi Yusuf AttarBashi, vào tháng 6 năm 2021.

Số Leyland thuộc loại thứ hai

Số Leyland thuộc loại thứ hai là số có dạng

: $x^y\; -\; y^x$

Trong đó x và y là các số nguyên lớn hơn 1. Những con số đầu tiên như vậy là:

: 0, 1, 7, 17, 28, 79, 118, 192, 399, 431, 513, 924, 1844, 1927, 2800, 3952, 6049, 7849, 8023, 13983, 16188, 18954, 32543, 58049, 61318, 61440, 65280, 130783, 162287, 175816, 255583, 261820, ...

Số nguyên tố Leyland thuộc loại thứ hai là số vừa là số Leyland thuộc loại thứ hai, vừa là số nguyên tố. Một vài số đầu tiên như vậy là:

: 7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, 523927, 2486784401, 6102977801, 8375575711, 13055867207, 83695120256591, 375700268413577, 2251799813682647, ...