✨Phân phối nhị thức

!| kurtosis =$\backslash frac\{1-6p(1-p)\}\{np(1-p)\}!$| entropy =$\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash ln\; \backslash left(2\; \backslash pi\; n\; e\; p\; (1-p)\; \backslash right)\; +\; O\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash right)$| mgf =$(1-p\; +\; pe^t)^n\; !$| char =$(1-p\; +\; pe^\{it\})^n\; !$|

Phân phối nhị thức (Tiếng Anh: binomial distribution) là một phân phối xác suất rời rạc với hai tham số $n$ và $p$, kí hiệu của số lượng phép thử thành công trong n phép thử độc lập tìm kết quả có hay không thành công. Loại phân phối xác suất này rất phổ biến và được ứng dụng nhiều trong lý thuyết xác suất, thống kê và trong thực tiễn.

Hàm khối xác suất :$\backslash mathbf\; P(X=k)=\{n\backslash choose\; k\}p^k(1-p)^\{n-k\}\backslash quad\backslash mbox\{voi\}\backslash \; k=0,1,2,\backslash dots,n$ ở đây :$\{n\backslash choose\; k\}=\backslash frac\{n!\}\{k!(n-k)!\}$ với k là số lần thu được kết quả CÓ thành công trong n lượt thử

Công thức trên có thể được hiểu như sau: xác suất xảy ra k lượt thử thành công là $p^k$ và xác suất xảy ra (n-k) lượt thử không thành công là $(1-p)^\{n-k\}$. Ngoài ra, vì k lượt thử thành công có thể được phân bố bất kỳ trong n lượt thử nên số cách phân bố k lượt thử thành công trong n lượt thử liên tiếp là $\backslash binom\{n\}\{k\}$.

Trung bình - kỳ vọng:

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên $X$ có phân phối nhị thức là:

Vì tổng trên là nhị thức Newton của hai số hạng $p$ và $1-p$.

Phương sai:

Phương sai của biến ngẫu nhiên $X$ có phân phối nhị thức là $\backslash text\{Var\}(X)\; =\; \backslash mathbb\{E\}(X^2)\; -\; \backslash mathbb\{E\}\; (X)^2$. Việc tính toán $\backslash mathbb\{E\}(X^2)$ cũng sử dụng kỹ thuật tương tự, bằng cách khai triển $k^2\; =\; k(k-1)\; +\; k$, rút ra được:

Như vậy, phương sai của $X$ là:

Hàm phân phối tích lũy (cumulative distribution function):

trong đó $\backslash lfloor\{k\}\backslash rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất bé hơn hoặc bằng k.