✨Nửa vành

Trong đại số trừu tượng, nửa vành là một cấu trúc đại số tương tự với vành nhưng không yêu cầu mỗi phần tử phải có nghịch đảo phép cộng.

Nửa vành nhiệt đới hiện đang được nghiên cứu mạnh bởi nó là cầu nối giữa các đa tạp đại số với các cấu trúc tuyến tính từng phần.

Định nghĩa

Nửa vành là tập $R$ đi kèm với hai phép toán hai ngôi $\backslash ,+\backslash ,$ và $\backslash ,\backslash cdot,\backslash ,$ được gọi là phép cộng và phép nhân sao cho:

• $(R,\; +)$ là monoid giao hoán với phần tử đơn vị $0$: ** $(a\; +\; b)\; +\; c\; =\; a\; +\; (b\; +\; c)$ ** $0\; +\; a\; =\; a\; =\; a\; +\; 0$ ** $a\; +\; b\; =\; b\; +\; a$
• $(R,\; \backslash ,\backslash cdot\backslash ,)$ là monoid với phần tử đơn vị $1$: ** $(a\; \backslash cdot\; b)\; \backslash cdot\; c\; =\; a\; \backslash cdot\; (b\; \backslash cdot\; c)$ ** $1\; \backslash cdot\; a\; =\; a\; =\; a\; \backslash cdot\; 1$
• Phép nhân có tính phân phối trái và phải trên phép cộng: $a\; \backslash cdot\; (b\; +\; c)\; =\; (a\; \backslash cdot\; b)\; +\; (a\; \backslash cdot\; c)$ $(a\; +\; b)\; \backslash cdot\; c\; =\; (a\; \backslash cdot\; c)\; +\; (b\; \backslash cdot\; c)$
• Nhân bởi số $0$ $R$: ** $0\; \backslash cdot\; a\; =\; 0\; =\; a\; \backslash cdot\; 0$

Ký hiệu $\backslash ,\backslash cdot\backslash ,$ thường bị ẩn bị; nghĩa là, $a\; \backslash cdot\; b$ viết gọn lại thành $ab.$ Ngoài ra thứ tự các phép toán vẫn giữ nguyên, nghĩa là phép $\backslash ,\backslash cdot\backslash ,$ thực hiện trước phép $\backslash ,+\backslash ,$; ví dụ như $a\; +\; b\; c$ là $a\; +\; (b\; c).$

So với vành, nửa vành chỉ bỏ đi yêu cầu giá trị nghịch đảo của phép cộng; nghĩa là nó chỉ cần monoid giao hoán chứ không cần nhóm giao hoán. Nếu phép nhân của nửa vành có tính giao hoán thì nó được gọi là nửa vành giao hoán.

Lý thuyết

Ta có thể trực tiếp tổng quát hóa các lý thuyết đại số kết hợp trên vành giao hoán sang lý thuyết đại số trên nửa vành.

Một nửa vành mà mỗi phần tử lũy đẳng với phép cộng (nghĩa là $a\; +\; a\; =\; a$ với mọi $a$) được gọi là ****., Nửa vành lũy đẳng mà cũng là vành thì là vành tầm thường (vành chỉ có 1 phần tử) Ngoài ra ta có thể định nghĩa thứ tự một phần $\backslash ,\backslash leq\backslash ,$ trên nửa vành lũy đẳng bằng cách đặt $a\; \backslash leq\; b$ khi $a\; +\; b\; =\; b$ (hay tồn tại $x$ sao cho $a\; +\; x\; =\; b$). Giá trị tối tiểu thỏa mãn quan hệ này là $0,$ nghĩa là $0\; \backslash leq\; a$ với mọi $a.$ Phép cộng và phép nhân bảo toàn thứ tự như sau $a\; \backslash leq\; b$ thì $a\; c\; \backslash leq\; b\; c$; $c\; a\; \backslash leq\; c\; b$ và $(a\; +\; c)\; \backslash leq\; (b\; +\; c).$

Các ứng dụng

Nửa vành nhiệt đới $(\backslash max,\; +)$ và $(\backslash min,\; +)$ trên các số thực được dùng để đánh giá hiệu suất trên các hệ thống sự kiện rời rạc. Các số thực trở thành "chi phí" hoặc "thời gian đến"; Phép toán "max" tương ứng với thời gian đợi tất cả điều kiện tiên quyết của sự kiện được thỏa mãn (do đó thời gian tốn là cực đại) trong khi phép "min" tương ứng với cách chọn tối ưu ít chi phí nhất; phép + tương ứng với các tích lũy trên cùng 1 đường.

Thuật toán Floyd–Warshall tìm đường đi ngắn nhất có thể đổi thành bài tính trên đại số $(\backslash min,\; +)$. Tương tự như vậy, thuật toán Viterbi tìm dãy trạng thái khả thi nhất đối với dãy quan sát trong mô hình Markov ẩn có thể đổi thành bài tính trên đại số $(\backslash max,\; \backslash times)$ của xác suất. Các thuật toán quy hoạch động này dựa trên tính phân phối của nửa vành tương ứng để tính một số lượng lớn (có thể lũy thừa) số các phần tử thay vì phải chạy qua từng cái một.

Các ví dụ

Theo định nghĩa thì mọi vành đều là nửa vành. Các ví dụ nửa vành nhưng không phải vành là tập các số tự nhiên $\backslash N$ số (bao gồm 0) dưới phép cộng và phép nhân như thường.Số hữu tỉ không âm và số thực không âm cũng tạo thành nửa vành. Các nửa vành này đều giao hoán.

Các ví dụ chung

• Tập các ideal của 1 vành lập thành nửa vành lũy đẳng với phép nhân và cộng ideal
• Đại số Boolean là nửa vành, vành Boolean cũng là nửa vành (bởi vì nó là vành) nhưng nó không lũy đẳng dưới phép cộng. nửa vành Boolean được định nghĩa là một nửa vành đẳng cấu với nửa vành con của đại số Boolean .
• Mọi c-nửa vành cũng là nửa vành, trong đó phép cộng lũy đẳng và trên mọi tập hợp

Nửa vành của tập hợp

Một ** (của tập hợp**) là tập không rỗng $\backslash mathcal\{S\}$ các tập con của $X$ sao cho

1. $\backslash varnothing\; \backslash in\; \backslash mathcal\{S\}.$ * Nếu (3) được thỏa mãn, thì $\backslash varnothing\; \backslash in\; \backslash mathcal\{S\}$ khi và chỉ khi $\backslash mathcal\{S\}\; \backslash neq\; \backslash varnothing.$
2. Nếu $E,\; F\; \backslash in\; \backslash mathcal\{S\}$ thì $E\; \backslash cap\; F\; \backslash in\; \backslash mathcal\{S\}.$
3. Nếu $E,\; F\; \backslash in\; \backslash mathcal\{S\}$ thì tồn tại hữu hạn số tập không giao nhau $C\_1,\; \backslash ldots,\; C\_n\; \backslash in\; \backslash mathcal\{S\}$ sao cho $E\; \backslash setminus\; F\; =\; \backslash bigcup\_\{i=1\}^n\; C\_i.$

Từ điều kiện (2) và (3) cùng với $S\; \backslash neq\; \backslash varnothing$ suy ra được $\backslash varnothing\; \backslash in\; S.$ Các nửa vành này được dùng trong lý thuyết độ đo. Ví dụ như tập các khoảng thực nửa đóng nửa mở $[a,\; b)\; \backslash subset\; \backslash R.$

Một **** trên $X$ là nửa vành có các tập con của $X$ làm phần tử.

Các ví dụ cụ thể