✨Mô hình Black–Scholes

Mô hình Black–Scholes hay Mô hình Black–Scholes–Merton là một mô hình toán học ứng dụng để định giá một số sản phẩm tài chính mà tiêu biểu là quyền chọn kiểu châu Âu. Mô hình được đưa ra bởi Fischer Black và Myron Scholes trong bài báo năm 1973, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", xuất bản trong Journal of Political Economy.

Công thức Black - Scholes

Công thức Black - Scholes được dùng để định giá quyền chọn châu Âu.

Giá của quyền chọn mua với các tham biến Black - Scholes là:

:$C(t,S)\; =\; Se^\{-\backslash delta(T-t)\}N(d\_1)\; -\; Ke^\{-r(T\; -\; t)\}N(d\_2)\; \backslash ,$

::$d\_1\; =\; \backslash frac\{\backslash ln(\backslash frac\{S\}\{K\})\; +\; (r\; -\; \backslash delta\; +\; \backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{2\})(T\; -\; t)\}\{\backslash sigma\backslash sqrt\{T\; -\; t$

::$d\_2\; =\; d\_1\; -\; \backslash sigma\backslash sqrt\{T\; -\; t\}.$

Giá của quyền chọn bán là:

:$P(t,S)\; =\; Ke^\{-r(T-t)\}N(-d\_2)\; -\; SN(-d\_1).\; \backslash$

Với:

• N(•) là hàm phân bổ tích lũy của phân phối chuẩn N(0, 1)
• T - t là thời gian còn lại đến kì hạn.
• S là giá giao ngay (spot price) của tài sản gốc.
• K là giá điểm (strike price).
• r là lãi suất không rủi ro.
• $\backslash sigma$ là biến động giá của tài sản gốc
• $\backslash delta$ cổ tức được trả và tái đầu tư ngay lập tức vào cổ phiếu.

Phương trình Black Scholes cho quyền chọn kiểu châu Âu

Phương trình Black Scholes là một phương trình đạo hàm riêng trong đó miêu tả sự phụ thuộc của giá một sản phẩm phái sinh theo thời gian và theo sản phẩm sản phẩm nền(underlying asset). Phương trình như sau

:$\backslash frac\{\backslash partial\; V\}\{\backslash partial\; t\}(t,S)+\; r\; S\backslash frac\{\backslash partial\; V\}\{\backslash partial\; S\}(t,S)+\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash fracV\}\{\backslash partial\; \}(t,S)-rV(t,S)=0$ trên miền $S\; \backslash in\; \backslash left[\; 0,+\backslash infty\; \backslash right),\; t\backslash in\; \backslash left[\; 0,T\; \backslash right].$ với ràng buộc payofff của sản phẩm phái sinh tại thời điểm đáo hạn $T$ là :$V(T,S)=\backslash Phi(S)$ ví dụ ::$\backslash Phi(S)=(S-K)$+ khi sản phẩm phái sinh là quyền chọn mua hoặc ::$\backslash Phi(S)=(K-S)$+ trong trường hợp sản phẩm phái sinh là quyền chọn bán.

Phương trình Black Scholes cho quyền chọn kiểu châu Mỹ

Mô phỏng Monte Carlo

Lược đồ $\backslash theta$

Ước lượng các tham số của mô hình