✨Không gian phủ

Trong tô pô, đặc biệt là tô pô đại số, không gian phủ là một quan hệ giữa hai không gian tô pô đồng phôi địa phương. Trong số các không gian phủ, không gian phủ phổ dụng là một không gian phủ đặc biệt quan trọng: nó là vật phổ dụng trong phạm trù các không gian phủ liên thông của một không gian tô pô cho trước.phải|nhỏ|278x278px| Một ánh xạ phủ.

Định nghĩa

Đặt $X$ là một không gian tô-pô. Một không gian phủ của $X$ là một không gian tô-pô $C$ cùng với một toàn ánh liên tục

: $p\; \backslash colon\; C\; \backslash to\; X\backslash ,$

sao cho với mọi $x\; \backslash in\; X$, có một lân cận mở $U$ của $x$ mà $p^\{-1\}(U)$ (nghịch ảnh của $U$ bởi $p$) là một hợp rời các tập mở trong $C$, mà mỗi trong số đó đồng phôi với $U$ qua $p$.

Tương đương, một không gian phủ của $X$ có thể được định nghĩa là một phân thớ $p\; \backslash colon\; C\; \backslash to\; X$ với các thớ rời rạc.

Ánh xạ $p$ được gọi là ánh xạ phủ,Nói riêng, nếu ta cố định một nghịch ảnh $e$ và một phần tử $y\backslash in\; Y$ sao cho $p(e)=f(y)$, có nhiều nhất là một nâng thỏa mãn $e=g(y)$. Không phải lúc nào nâng cũng tồn tại: một ví dụ là ta không thể nâng ánh xạ đồng nhất $\backslash mathrm\{id\}:\backslash mathbb\{S\}^1\backslash to\; \backslash mathbb\{S\}^1$ qua phủ $\backslash mathbb\{R\}\backslash to\; \backslash mathbb\{S\}^1$. Tuy nhiên trong trường hợp $Y=[0,1]$ là một đoạn, nâng tồn tại và là duy nhất.

Định lý Galois

Quan hệ với groupoid

Hàm tử groupoid cơ bản cho ta một tương đương phạm trù

: $\backslash pi\_1:\; \backslash operatorname\{TopCov\}(X)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{GpdCov\}(\backslash pi\_1\; X)$

giữa phạm trù các phủ của một không gian tô-pô X (giả sử X thỏa mãn một thuộc tính nào đó) và phạm trù các phủ groupoid của ₁(X).