✨Hình đới cầu

mini|Hình đới cầu hay cầu phân. Trong hình học không gian, hình đới cầu, khối đới cầu hay, cầu đài, cầu phân (spherical segment), là một phần của khối cầu đặc, xác định bằng cách cắt khối cầu bởi hai mặt phẳng song song. Phần bề mặt cong của nó gọi là mặt đới cầu.

Thể tích của hình đới cầu bằng: $V=\backslash frac\; \{\backslash pi\; h\}\{6\}(3a\_1^2+3a\_2^2+h^2)$, với $a\_1,a\_2$ là bán kính của hai hình tròn giới hạn (mặt phẳng đáy và mặt phẳng đỉnh của hình đới cầu) và $h$ là chiều cao của nó. Diện tích của mặt đới cầu bằng: $M=2\backslash pi\; r\; h$ và tổng diện tích bề mặt hình đới cầu (hai mặt phẳng đáy và đỉnh và mặt đới cầu):

• $O=\backslash pi(2rh+\; a\_1^2+a\_2^2)$. Từ các dữ liệu $a\_1,a\_2,h$ của hình đới cầu, bán kính của mặt cầu bao hình đới cầu bằng: *$r^2=a\_1^2+\backslash left\; (\backslash frac\{a\_1^2-a\_2^2-h^2\}\{2h\}\backslash right)^2$

Chứng minh công thức

Thể tích của hình đới cầu bằng thể tích của hình chỏm cầu (spherical cap) lớn $\backslash mathcal\; S\_1$ (có đáy là mặt phẳng đáy của hình đới cầu), trừ đi thể tích của hình chỏm cầu $\backslash mathcal\; S\_2$ (có đáy là mặt phẳng đỉnh của hình đới cầu). Đặt $h\_1$ là chiều cao của $\backslash mathcal\; S\_1$ và $h\_2$ là chiều cao của $\backslash mathcal\; S\_2$.

Thể tích

Thể tích của các hình chỏm cầu lần lượt bằng $V\_1=\backslash frac\{\backslash pi\; h\_1^2\}\{3\}(3r-h\_1),\; \backslash \; V\_2=\backslash frac\{\backslash pi\; h\_2^2\}\{3\}(3r-h\_2)$ (xem hình chỏm cầu). Do vậy :$V=V\_1-V\_2=\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}(3(h\_1^2-h\_2^2)r-(h\_1^3-h\_2^3)$ ::$=\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}(h\_1-h\_2)(3(h\_1+h\_2)r-(h\_1^2+h\_1h\_2+h\_2^2))$ Với mối liên hệ $2rh\_1=a\_1^2+h\_1^2,\; \backslash \; 2rh\_2=a\_2^2+h\_2^2,$ (xem bài hình chỏm cầu) thu được :$V=\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}(h\_1-h\_2)\backslash left\; (\backslash frac\{3\}\{2\}(a\_1^2+h\_1^2+a\_2^2+h\_2^2)-h\_1^2-h\_1h\_2-h\_2^2\; \backslash right)$ ::$=\backslash frac\{\backslash pi\}\{6\}(h\_1-h\_2)(3(a\_1^2+a\_2^2)\; +(h\_1-h\_2)^2)$. Vì $h=h\_1-h\_2$ nên suy ra công thức thể tích:

$V=\backslash frac\; \{\backslash pi\; h\}\{6\}(3a\_1^2+3a\_2^2+h^2)$. ### Diện tích mặt đới cầu Với _diện tích mặt đới cầu_ chứng minh tương tự :$M=M\_1-M\_2=2\backslash pi\; rh\_1-2\backslash pi\; r\; h\_2=2\backslash pi\; r(h\_1-h\_2)=2\backslash pi\; rh$. ### Bán kính mặt cầu Để chứng minh mối quan hệ giữa $r,a\_1,a\_2,h$ và $d$ là khoảng cách từ mặt phẳng đáy đến tâm hình cầu $M$. Do vậy :$(1):\; \backslash \; r^2=d^2+a\_1^2\backslash quad\; (2):\; \backslash \; r^2=(d+h)^2+a\_2^2$. Đặt hai phương trình bằng nhau và thay thế $d$, với $d=\backslash frac\{a\_1^2-a\_2^2-h^2\}\{2h\}$ Quay trở lại phương trình (1) có :$r^2=a\_1^2+\backslash left\; (\backslash frac\{a\_1^2-a\_2^2-h^2\}\{2h\}\backslash right)^2$.