✨Hình chỏm cầu

Hình chỏm cầu màu xanh và mặt cắt.

Trong hình học không gian, hình chỏm cầu, hình vòm cầu, hay hình đới cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Nếu mặt phẳng đi qua tâm của hình cầu, lúc này chiều cao của chỏm cầu bằng bán kính của hình cầu, và hình chỏm cầu thu về một bán cầu.

Thể tích và diện tích bề mặt

nhỏ|Hình chỏm cầu màu xanh (và hình chỏm cầu còn lại có màu đỏ.)

Nếu bán kính của đáy chỏm cầu bằng $a$, và chiều cao bằng $h$, thì thể tích của hình chỏm cầu bằng

:$V\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\; h\}\{6\}\; (3a^2\; +\; h^2)$

và diện tích phần mặt cong (hay vòm) của chỏm cầu bằng

:$V\; =\; V^\{(1)\}-V^\{(2)\}$,

với

:$V^\{(1)\}\; =\; \backslash frac\{4\backslash pi\}\{3\}r\_1^3\; +\backslash frac\{4\backslash pi\}\{3\}r\_2^3$

là tổng thể tích của hai hình cầu riêng rẽ, và

:$V^\{(2)\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\; h\_1^2\}\{3\}(3r\_1-h\_1)+\backslash frac\{\backslash pi\; h\_2^2\}\{3\}(3r\_2-h\_2)$

là tổng thể tích của hai chỏm cầu hình thành bởi đoạn giao giữa hai hình cầu. Nếu là khoảng cách giữa hai tâm hình cầu, bằng cách loại bỏ các biến $h\_1$ và $h\_2$ thu được

:$V^\{(2)\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{12d\}(r\_1+r\_2-d)^2\; \backslash left(d^2+2d(r\_1+r\_2)-3(r\_1-r\_2)^2\; \backslash right)$ .

Diện tích đường tròn bị chặn bởi các đường tròn vĩ độ

• Diện tích của bề mặt bị chặn bởi hai đường tròn vĩ độ (hay mặt đới cầu) bằng hiệu số diện tích của hai chỏm cầu tương ứng với hai đường tròn này. Với hình cầu bán kính $r$, và cho trước các vĩ độ $\backslash phi\_1$ và $\backslash phi\_2$, diện tích của mặt đới cầu bằng

:$A=2\; \backslash pi\; r^2\; |\backslash sin\; \backslash phi\_1\; -\; \backslash sin\; \backslash phi\_2|$

Ví dụ, giả sử Trái Đất là một hình cầu có bán kính 6371 km, diện tích bề mặt của bắc cực (phía bắc của vòng Bắc Cực, tại vĩ độ 66,56° thời điểm tháng 8 năm 2016) là 2·6371²|sin 90° − sin 66.56°| = 21,04 triệu km², hay 0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4,125% tổng diện tích bề mặt của Trái Đất.

Tổng quát hóa

Tạo thành từ những hình khối khác

Vòm phỏng cầu (spheroidal dome) thu được bằng cách chia một hình phỏng cầu sao cho hình vòm thu được có tính chất đối xứng tròn (circular symmetry) (hay nó có một trục tròn xoay), ví dụ như hình vòm elipsoid nhận được từ ellipsoid.

Siêu chỏm cầu

Tổng quát hơn, thể tích $n$-chiều của một siêu chỏm cầu với chiều cao $h$ và bán kính $r$ trong không gian Euclid $n$-chiều cho bởi :$V\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\; ^\; \{\backslash frac\{n-1\}\{2\backslash ,\; r^\{n\{\backslash ,\backslash Gamma\; \backslash left\; (\backslash frac\{n+1\}\{2\}\; \backslash right)\}\; \backslash int\backslash limits\_\{0\}^\{\backslash arccos\backslash left(\backslash frac\{r-h\}\{r\}\backslash right)\}\backslash sin^n\; (t)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}t$ với hàm gamma $\backslash Gamma$ cho bởi $\backslash Gamma(z)\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; t^\{z-1\}\; \backslash mathrm\{e\}^\{-t\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}t$.

Công thức biểu diễn cho $V$ có thể viết dưới dạng thể tích của khối cầu n chiều đơn vị $C${n}={\scriptstyle \pi^{n/2}/\Gamma[1+\frac{n}{2}]} và hàm siêu hình học (hypergeometric function) $\{\}${2}F_{1} hoặc hàm beta chính quy hóa không đầy đủ (regularized incomplete beta function) $I$x(a,b) như sau :$V\; =\; C${n} \, r^{n} \left(\frac{1}{2}\, - \,\frac{r-h}{r} \,\frac{\Gamma[1+\frac{n}{2}]}{\sqrt{\pi}\,\Gamma[\frac{n+1}{2}]} {\,\,}{2}F{1}\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1-n}{2};\tfrac{3}{2};\left(\tfrac{r-h}{r}\right)^{2}\right)\right) =\frac{1}{2}C{n} \, r^n I{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2} \right),

và công thức diện thích $A$ có thể biểu diễn theo số hạng của diện tích khối cầu n chiều đơn vị $A${n}={\scriptstyle 2\pi^{n/2}/\Gamma[\frac{n}{2}]} như :$A\; =\backslash frac\{1\}\{2\}A${n} \, r^{n-1} I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n-1}{2}, \frac{1}{2} \right), với $\backslash scriptstyle\; 0\backslash le\; h\backslash le\; r$.

Trước đó trong (1986, USSR Academ. Press) công thức sau đã được suy ra:

Trường hợp số lẻ $n=2k+1:$

Tiệm cận

Như được chứng minh trong bài báo rằng, nếu $n\; \backslash to\; \backslash infty$ và $q\backslash sqrt\; n\; =\; \backslash text\{const.\}$, thì $p\_n\; (q)\; \backslash to\; 1-\; F(\{q\; \backslash sqrt\; n\})$ với $F()$ là tích phân của phân phối chuẩn.

Một cách tính định lượng hơn của biểu diễn trên, như nêu trong với giá trị chặn$A/A\_n\; =\; n^\{\backslash Theta(1)\}\; \backslash cdot\; [(2-h/r)h/r]^\{n/2\}$