✨Đồ thị duyên dáng

vừa|phải|Với n bằng 5

Một đồ thị có e đỉnh, và có thể gán nhãn cho mỗi đỉnh với một số tự nhiên bất kỳ nằm giữa 0 và e sao cho:

• mỗi đỉnh có một nhãn phân biệt;
• trị tuyệt đối của hiệu giữa hai nhãn ở hai đầu mút của các cạnh là khác nhau. được gọi là đồ thị duyên dáng (tiếng Anh: graceful graph).

Thuật ngữ "đồ thị duyên dáng" được đặt bởi Solomon W. Golomb; lớp đồ thị có gán nhãn này ban đầu được gọi là β-gán nhãn bởi Alex Rosa trong một bài báo năm 1967 về gán nhãn đồ thị..

Liên quan đến đồ thị duyên dáng, có một phỏng đoán chưa được chứng minh hay bác bỏ có tên là phỏng đoán Ringel-Kotzig. Phỏng đoán này phát biểu rằng: " tất cả các cây đều là đồ thị duyên dáng". Phỏng đoán Ringel-Kotzig còn có tên gọi khác là "phỏng đoán Von Koch" và "phỏng đoán về gán nhãn đồ thị". Kotzig gọi các cố gắng nhằm chứng minh phỏng đoán này là một "căn bệnh".

Các kết quả liên quan

• Một đường đi đơn với n đỉnh luôn là đồ thị duyên dáng (xem (tr.706)). Cách gán nhãn từ trái qua phải như sau: với đỉnh thứ nhất ta gán nhãn 1, đỉnh thứ hai gán nhãn n, đỉnh thứ 3 gán nhãn 2, đỉnh thứ 4 gán nhãn n-1,... đỉnh thứ k gán nhãn $\backslash frac\{k+1\}\{2\}$ nếu k lẻ, và $n-\backslash frac\{k\}\{2\}+1$ nếu k chẵn,.... 2 Hình dưới đây minh họa cho cách gán nhãn cho đường đi đơn độ dài n-1 và đường đi đơn độ dài bằng 4:

lớn|phải|Gán nhãn cho đường đi đơn có n đỉnh

vừa|phải|Với n bằng 5

• Cây dây xích cũng là đồ thị duyên dáng (xem . Vào năm 2010, sử dụng một phương pháp máy tính khác, trong dự án mang tên "Graceful Tree Verification Project", dẫn dắt bởi Wenjie Fang, kết quả được mở rộng cho các cây không quá 35 đỉnh.
• Tất cả các đồ thị hình bánh xe, đồ thị mạng đều duyên dáng.
• Tất cả các đồ thị đơn có không quá 4 đỉnh đều duyên dáng. Các đơn đồ thị không duyên dáng có 5 đỉnh là đồ thị chu trình $C\_5$, đồ thị đầy đủ $K\_5$; và đồ thị cánh bướm.