✨Định lý Green

Trong toán học, định lý Green đưa ra mối liên hệ giữa tích phân đường quanh một đường cong khép kín C và tích phân mặt trên một miền D bao quanh bởi C. Đây là trường hợp đặc biệt trong không gian 2 chiều của định lý Stokes, và được đặt tên theo nhà toán học người Anh tên George Green.

Định lý

C là một đường đơn đóng có định hướng dương trong mặt phẳng $\backslash mathbb\{R\}$², và D là miền được bao quanh bởi C. Nếu L và M là các hàm số với biến (x, y) được định nghĩa trên miền mở chứa D và có các đạo hàm riêng phần liên tục trên đó, thì

:$\backslash oint${C} (L\, \mathrm{d}x + M\, \mathrm{d}y) = \iint{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y.

Mối liên hệ với định lý Stokes

Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes, khi áp dụng trên mặt phẳng-xy:

Chúng ta có thể mở rộng trường 2 chiều thành một trường trong không gian 3 chiều với thành phần z luôn bằng 0. Gọi F là hàm số vector định nghĩa bởi $\backslash mathbf\{F\}=(L,M,0)$. Bắt đầu với vế trái của định lý Green:

:$\backslash oint${C} (L\, dx + M\, dy) = \oint{C} (L, M, 0) \cdot (dx, dy, dz) = \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.

Theo định lý Stokes thì: :$\backslash oint\_\{C\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{r\}\; =\; \backslash iint\_S\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash hat\; n\}\; \backslash ,\; dS.$

Mặt $S$ chỉ là một miền $D$ trong mặt phẳng, với vector định chuẩn $\backslash mathbf\{\backslash hat\; n\}$ hướng lên (theo hướng z) để trùng với "định hướng dương" trong cả hai định lý.

Biểu thức bên trong tích phân trở thành :$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash hat\; n\}\; =\; \backslash left[\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; 0\}\{\backslash partial\; y\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; M\}\{\backslash partial\; z\}\backslash right)\; \backslash mathbf\{i\}\; +\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; z\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; 0\}\{\backslash partial\; x\}\backslash right)\; \backslash mathbf\{j\}\; +\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; M\}\{\backslash partial\; x\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; y\}\backslash right)\; \backslash mathbf\{k\}\; \backslash right]\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{k\}\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; M\}\{\backslash partial\; x\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; y\}\backslash right).$

Do đó mà ta sẽ được vế phải của định lý Green :$\backslash iint\_S\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash hat\; n\}\; \backslash ,\; dS\; =\; \backslash iint\_D\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; M\}\{\backslash partial\; x\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; y\}\backslash right)\; \backslash ,\; dA.$

Mối liên quan với định lý Gauss

Nếu chỉ xét các trường vectơ trong không gian 2 chiều, định lý Green là tương đương với phiên bản 2 chiều sau đây của định lý Gauss: :$\backslash iint\_D\backslash left(\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{F\}\backslash right)dA=\backslash oint\_C\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash hat\; n\}\; \backslash ,\; ds,$ với $\backslash mathbf\{\backslash hat\; n\}$ là véc tơ định chuẩn hướng ra ngoài trên biên.

Để thấy điều này, xét vec tơ định chuẩn $\backslash mathbf\{\backslash hat\; n\}$ ở tay phải của phương trình. Bởi vì trong định lý Green $d\backslash mathbf\{r\}\; =\; (dx,\; dy)$ là một vecto đi theo hướng tiếp tuyến với đường cong, và đường cong C được định hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) dọc theo biên, vectơ định chuẩn hướng ra ngoài sẽ chỉ vuông góc 90° về phía phải, và sẽ là $(dy,\; -dx)$. Chiều dài của vec tơ này là $\backslash sqrt\{dx^2\; +\; dy^2\}\; =\; ds$. Do vậy $\backslash mathbf\{\backslash hat\; n\}\backslash ,ds\; =\; (dy,\; -dx).$

Bây giờ hãy để $\backslash mathbf\{F\}\; =\; (P,\; Q)$. Khi đó vế phải sẽ trở thành :$\backslash oint\_C\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{\backslash hat\; n\}\; \backslash ,\; ds\; =\; \backslash oint\_C\; P\; dy\; -\; Q\; dx$ mà do định lý Green sẽ trở thành :$\backslash oint$C -Q dx + P dy = \iint{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\, dA = \iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA.

Điều ngược lại cũng có thể được chứng minh một cách dễ dàng.

Tính toán diện tích

Định lý Green có thể được sử dụng để tính diện tích sử dụng tích phân đường. Diện tích của miền D được cho bởi:

:$A\; =\; \backslash iint\_\{D\}\backslash mathrm\{d\}A.$

Miễn là chúng ta chọn được L và M sao cho:

:$\backslash frac\{\backslash partial\; M\}\{\backslash partial\; x\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; y\}\; =\; 1.$

Diện tích sẽ được cho bởi công thức sau:

:$A\; =\; \backslash oint\_\{C\}\; (L\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\; +\; M\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}y).$

Các công thức cho diện tích của D bao gồm:

:$A=\backslash oint${C} x\, \mathrm{d}y = -\oint{C} y\, \mathrm{d}x = \tfrac 12 \oint_{C} (-y\, \mathrm{d}x + x\, \mathrm{d}y).

Đây là cùng công thức cho tính diện tích cho những hình nằm trên mặt phẳng xy bằng toán vectơ:

A = 1/2 ∮ r x _d_r = 1/2 k ∮(xdy – ydx)

khi r = _x_i + yj và _d_r = dxi + _dy_j.