✨Công thức Leibniz để tính π

Công thức Leibniz để tính π

Trong toán học, Công thức Leibniz để tính được viết như sau:

\frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k{2k + 1},

Đây là một chuỗi đan dấu, được đặt theo tên nhà toán học Gottfried Wilhelm Leibniz. Tuy nhiên Leibniz không phải là người đầu tiên tìm ra kết quả của chuỗi số này, mà là Madhava, một nhà toán học người Ấn Độ sống ở thế kỷ 14-15. Thậm chí trước khi Leibniz công bố kết quả của mình vào năm 1673 thì có một nhà toán học khác là James Gregory cũng đã độc lập tìm ra kết quả của chuỗi số vào năm 1671.

Đến đầu thế kỷ 18, Brook Taylor tìm ra được kết quả của một chuỗi số tổng quát hơn, mà sau này được gọi là chuỗi Taylor:

\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1{2k+1}.

Theo đó thì công thức Leibniz là một trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor khi x=1. Khi đó thì:

\arctan 1 = \tfrac14\pi.

Bên cạnh đó công thức Leibniz cũng có thể được suy ra từ hàm số L Dirichlet với ký tự Dirichlet của module 4 được tính khi s=1.

Chứng minh

Cách 1

\begin{align} \frac{\pi}{4} &= \arctan(1) \\ &= \int_0^1 \frac 1{1+x^2} \, dx \\[8pt] & = \int_0^1\left(\sum_{k=0}^n (-1)^k x^{2k}+\frac{(-1)^{n+1}\,x^{2n+2} }{1+x^2}\right) \, dx \\[8pt] & = \left(\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}\right) +(-1)^{n+1} \left(\int_0^1\frac{x^{2n+2{1+x^2} \, dx\right) \end{align}

Chỉ xét tích phân ở số hạng cuối cùng, chúng ta có:

0 \le \int_0^1 \frac{x^{2n+2{1+x^2}\,dx \le \int_0^1 x^{2n+2}\,dx = \frac{1}{2n+3} \;\rightarrow 0 \text{ khi } n \rightarrow \infty.

Theo định lý kẹp, khi , chúng ta sẽ có chuỗi Leibniz:

\frac{\pi}4 = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}

Cách 2

Từ hàm số f(z) = \sum{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1}, khi |z|<1, thì chuỗi \sum{k=0}^\infty (-1)^k z^{2k} sẽ hội tụ đều, khi đó thì

\arctan(z) = \int_{0}^{z} \frac {1}{1+t^2} dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1} = f(z) \ (|z|<1).

Vì thế, nếu f(z) tiến đến f(1) thì nó sẽ liên tục và hội tụ đều. Căn cứ tiêu chuẩn Leibniz thì chuỗi \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} cũng sẽ hội tụ. Ngoài ra, khi f(z) tiến đến f(1) trong phạm vi góc Stolz, thì tổng Abel cũng chính xác.

👁️ 1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
💫 Công thức Leibniz để tính π
Trong toán học, **Công thức Leibniz để tính ** được viết như sau: \frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k{2k + 1}, Đây là một chuỗi đan dấu, được đặt theo tên nhà toán
💫 Phân số đơn vị
nhỏ|Chiếc bánh pizza được cắt nhỏ; mỗi miếng bánh là \frac1{8} chiếc bánh. **Phân số đơn vị** là phân số dương có tử số bằng 1, tức có dạng \frac1{n} với n là
💫 Ma trận (toán học)
phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất
💫 Chứng minh π là số vô tỉ
Vào những năm 1760, Johann Heinrich Lambert đã chứng minh rằng số (pi) là vô tỷ: nghĩa là nó không thể được biểu thị dưới dạng phân số _a_/_b_, trong đó _a_ là số nguyên
💫 Leonhard Euler
**Leonhard Euler** ( , ; 15 tháng 4 năm 170718 tháng 9 năm 1783) là một nhà toán học, nhà vật lý học, nhà thiên văn học, nhà lý luận và kỹ sư người Thụy
💫 Pi
Số **pi** (ký hiệu: ****), còn gọi là **hằng số Archimedes**, là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường
💫 Lịch sử toán học
_Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing_]] Từ _toán học_ có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể
💫 Số siêu việt
nhỏ|363x363px| [[Pi (π) là một số siêu việt nổi tiếng ]] Trong toán học, một **số siêu việt** là một số thực hoặc số phức không phải là số đại số, nghĩa là nó không