✨Chuỗi lồng nhau

Trong Toán học, chuỗi lồng nhau là chuỗi mà mỗi phần tử $t\_n$ có thể viết thành $t\_n\; =\; a$n - a{n-1}, hiệu của hai phần tử liên tiếp trong dãy $(a\_n)$.

Do đó, tổng riêng chỉ còn hai phần tử trong dãy sau khi khử xong. Kỹ thuật khử với mỗi phần tử khử một phần của phần tử sau đó được gọi là phương pháp khử.

Để lấy ví dụ, xét chuỗi của các nghịch đảo của số pronic.

: $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{1\}\{n(n+1)\}$

Chuỗi trên có thể đơn giản hóa thành

: $\backslash begin\{align\}\; \backslash sum${n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \ {} & {} = \lim{N\to\infty} \sum{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \ {} & {} = \lim{N\to\infty} \left\lbrack {\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right) } \right\rbrack \ {} & {} = \lim{N\to\infty} \left\lbrack { 1 + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left( - \frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} } \right\rbrack \ {} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack { 1 - \frac{1}{N+1} } \right\rbrack = 1. \end{align}

Tổng quát

phải|nhỏ|350x350px| Chuỗi lồng nhau của các số mũ Các tổng của chuỗi lồng nhau là các tổng hữu hạn mà mỗi cặp của hai phần tử liên tiếp khử nhau, để lại phần tử đầu và cuối.

Đặt $a\_n$ là dãy số, khi đó

: $\backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash left(a$n - a{n-1}\right) = a_N - a_0

Nếu $a\_n\; \backslash rightarrow\; 0$

: $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left(a$n - a{n-1}\right) = - a_0

Tích lồng nhau là tích hữu hạn mà hai phần tử liên tiếp khử mẫu số với tử số, để lại phần tử đầu và cuối.

Đặt $a\_n$ là một dãy số. Khi đó,

: $\backslash prod${n=1}^N \frac{a{n-1{a_n} = \frac{a_0}{a_N}

Nếu $a\_n\; \backslash rightarrow\; 1$

: $\backslash prod${n=1}^\infty \frac{a{n-1{a_n} = a_0

Các ví dụ khác

• Nhiều hàm lượng giác cũng có thể biểu diễn thành hiệu, cho phép dùng phương pháp khử hai phần tử liên tiếp.

:: $\backslash begin\{align\}\; \backslash sum${n=1}^N \sin\left(n\right) & {} = \sum{n=1}^N \frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(n\right)\right) \ & {} =\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \sum_{n=1}^N \left(\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right) \ & {} =\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right). \end{align}

• Một số tổng dưới dạng

:: $\backslash sum\_\{n=1\}^N\; \{f(n)\; \backslash over\; g(n)\}$

: với f và g là đa thức sao cho phân số có thể tách thành các phần nhỏ hơn, sẽ không tính được tổng bằng phương pháp này. Để lấy ví dụ, xét chuỗi sau

:: $\backslash begin\{align\}\; \backslash sum^\backslash infty${n=0}\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} = {} & \sum^\infty{n=0}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right) \ = {} & \left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \cdots \ & {} \cdots + \left(\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n}\right) + \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right) + \cdots \ = {} & \infty. \end{align}